Use a Regra de Simpson repetida com m=6 subintervalos para aproximar o valor das integrais:
\int_{0}^{\pi} e^{\sin x} d x.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
\int_{0}^{\pi} e^{\sin x}\,dx
usando a Regra de Simpson repetida (composta) com m=6 subintervalos. Informação relevante dada:
  • Intervalo: [a,b]=[0,\pi].
  • Número de subintervalos: m=6 (note que m é par, condição necessária para Simpson).
  • Função: f(x)=e^{\sin x}.
    Nada mais é pedido além da aproximação numérica por Simpson composta.

Passo 2

Vou explicar a Regra de Simpson composta (a “ferramenta” que vamos usar), passo a passo:
  • Dividimos [a,b] em m subintervalos de mesmo comprimento h, onde
h=\frac{b-a}{m}.
  • Os pontos da partição são x_j=a+jh para j=0,1,\dots,m.
  • A fórmula composta de Simpson dá a aproximação
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Big[f(x_0)+4\sum_{\substack{j=1\\\ j\\ \text{ímpar}}}^{m-1} f(x_j)+2\sum_{\substack{j=2\\\ j\\ \text{par}}}^{m-2} f(x_j)+f(x_m)\Big].í
Explicando as partes:
  • f(x_0) e f(x_m) são os valores nas extremidades.
  • Os nós de índice ímpar têm peso 4.
  • Os nós de índice par (exceto extremidades) têm peso 2.
  • A razão: Simpson aproxima por parábolas em blocos de dois subintervalos; a fórmula acima é a soma dessas aproximações.

Passo 3

Calcular h e os pontos x_j.
  • a=0, b=\pi, m=6.
h=\frac{\pi-0}{6}=\frac{\pi}{6}.
Os nós são
x_0=0,\quad x_1=\frac{\pi}{6},\quad x_2=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3},\quad x_3=\frac{3\pi}{6}=\frac{\pi}{2},
x_4=\frac{4\pi}{6}=\frac{2\pi}{3},\quad x_5=\frac{5\pi}{6},\quad x_6=\pi.

Passo 4

Calcular f(x_j)=e^{\sin x_j} em cada nó, usando valores trigonométricos conhecidos:
  • \sin(0)=0 então
f(x_0)=f(x_6)=e^{0}=1.
  • \sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{1}{2} então
f(x_1)=f(x_5)=e^{1/2}=e^{0{,}5}\approx 1{,}648721270700128.
  • \sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\sin\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}8660254037844386 então
f(x_2)=f(x_4)=e^{\sqrt{3}/2}\approx 2{,}377442197\quad(\text{aprox. }2{,}377442).
  • \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1 então
f(x_3)=e^{1}=e\approx 2{,}718281828459045.
Resumo dos valores aproximados (mantendo várias casas para precisão):
\begin{aligned} f(x_0)&=1,\\\ f(x_1)&\approx 1{,}648721270700128,\\\ f(x_2)&\approx 2{,}377442197,\\\ f(x_3)&\approx 2{,}718281828459045,\\\ f(x_4)&\approx 2{,}377442197,\\\ f(x_5)&\approx 1{,}648721270700128,\\\ f(x_6)&=1. \end{aligned}

Passo 5

Montar as somas com os pesos da Regra de Simpson.
  • Soma dos nós ímpares ( j=1,3,5):
S_{\text{ímpar}} = f(x_1)+f(x_3)+f(x_5) =2\cdot f(x_1)+f(x_3).í
Substituindo números:
S_{\text{ímpar}}\approx 2\cdot 1{,}648721270700128 + 2{,}718281828459045 \approx 6{,}015724369859301.í
  • Soma dos nós pares interiores ( j=2,4):
S_{\text{par}} = f(x_2)+f(x_4)=2\cdot f(x_2) \approx 2\cdot 2{,}377442197 \approx 4{,}754884394.
Agora o coeficiente combinado dentro dos colchetes da fórmula de Simpson é
B=f(x_0)+f(x_6)+4S_{\text{ímpar}}+2S_{\text{par}}.í
Substituindo:
B \approx 1+1 +4\cdot 6{,}015724369859301 +2\cdot 4{,}754884394 \approx 35{,}572666268453205.

Passo 6

Aplicar a fórmula de Simpson composta:
\int_{0}^{\pi} e^{\sin x}\,dx \approx \frac{h}{3}\,B.
Como h=\pi/6, temos h/3=\pi/18. Portanto
\int_{0}^{\pi} e^{\sin x}\,dx \approx \frac{\pi}{18}\,B.
Usando B\approx 35{,}572666268453205 e \pi\approx 3{,}141592653589793,
\frac{\pi}{18}\,B \approx 0{,}17453292519943295 \times 35{,}572666268453205 \approx 6{,}208602\\ (\text{aprox.}).

Resposta

6{,}208602

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