(D) Um resistor é formado por uma casca cilindrica condutora de resistividade rho, raio interno a, raio externo b e comprimento L. Suponha que uma corrente estacionária de intensidade I flui radialmente da superfície interna para a superfície externa da casca.
(a) Determine a densidade de corrente em um ponto no interior da casca, a uma distância s do eixo (a<s<b). Sugestão: Considere uma casca cilíndrica fina de raio s e comprimento L e mostre que a corrente que flui através dela é dada por I=J(s) 2 pi s L, para qualquer valor de s.
(b) Utilizando a lei de Ohm microscópica, determine o campo elétrico no mesmo ponto.
(c) Utilizando o campo determinado acima, determine a diferença de potencial entre as superfícies interna e externa da casca.
(d) Determine a resistência elétrica desse sistema.

Passo 1

O enunciado descreve um resistor em forma de casca cilíndrica de resistividade rho, raio interno a, raio externo b e comprimento L, em que uma corrente estacionária de intensidade I flui radialmente da superfície interna para a externa. Vamos aplicar (a) conservação de corrente para achar a densidade de corrente J(s), (b) a lei de Ohm microscópica E=rho,J para achar o campo E(s), (c) integração do campo para obter a diferença de potencial entre a e b, e (d) definição de resistência R=De<a V/I.

Passo 2

Para um ponto a uma distância s do eixo (a<s<b), considere uma casca cilíndrica fina de raio s e comprimento L. A área pela qual a corrente passa é
A(s)=2pi,s,L
Pela conservação de corrente,
I = J(s),A(s)
Logo, a magnitude da densidade de corrente é
J(s)=I2pi,s,L,
e como o fluxo é radial para fora,
J(s)=I2pi,s,L,s

Passo 3

Pela lei de Ohm microscópica,
E(s)=rho,J(s)
Substituindo J(s), obtemos
E(s) =rho,I2pi,s,L,s =rho,I2pi,L,s,s

Passo 4

A diferença de potencial entre a superfície interna ( r=a) e externa ( r=b) é
De<a V =V(a)-V(b) =integrala^bE(s),ds =rho,I2pi,Lintegrala^b1s,ds =rho,I2pi,Lln!ba

Passo 5

A resistência dessa casca cilíndrica é definida por
R=De<a VI =1I,rho,I2pi,Lln!ba =rho2pi,Lln!ba

Resposta

(a) J(s)=I2pi,s,L,s.
(b) E(s)=rho,I2pi,L,s,s.
(c) V(a)-V(b)=rho,I2pi,Lln!ba
(d) R=rho2pi,Lln!ba

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