(D) Um resistor é formado por uma casca cilindrica condutora de resistividade
, raio interno
, raio externo
e comprimento
. Suponha que uma corrente estacionária de intensidade
flui radialmente da superfície interna para a superfície externa da casca.
(a) Determine a densidade de corrente em um ponto no interior da casca, a uma distância
do eixo
. Sugestão: Considere uma casca cilíndrica fina de raio
e comprimento
e mostre que a corrente que flui através dela é dada por
, para qualquer valor de
.
(b) Utilizando a lei de Ohm microscópica, determine o campo elétrico no mesmo ponto.
(c) Utilizando o campo determinado acima, determine a diferença de potencial entre as superfícies interna e externa da casca.
(d) Determine a resistência elétrica desse sistema.
(a) Determine a densidade de corrente em um ponto no interior da casca, a uma distância
(b) Utilizando a lei de Ohm microscópica, determine o campo elétrico no mesmo ponto.
(c) Utilizando o campo determinado acima, determine a diferença de potencial entre as superfícies interna e externa da casca.
(d) Determine a resistência elétrica desse sistema.
Passo 1
O enunciado descreve um resistor em forma de casca cilíndrica de resistividade
, raio interno
, raio externo
e comprimento
, em que uma corrente estacionária de intensidade
flui radialmente da superfície interna para a externa. Vamos aplicar (a) conservação de corrente para achar a densidade de corrente
, (b) a lei de Ohm microscópica
para achar o campo
, (c) integração do campo para obter a diferença de potencial entre
e
, e (d) definição de resistência
.
Passo 2
Para um ponto a uma distância
do eixo
, considere uma casca cilíndrica fina de raio
e comprimento
. A área pela qual a corrente passa é
Pela conservação de corrente,
Logo, a magnitude da densidade de corrente é
e como o fluxo é radial para fora,
Passo 3
Pela lei de Ohm microscópica,
Substituindo
, obtemos
Passo 4
A diferença de potencial entre a superfície interna (
) e externa (
) é
Passo 5
A resistência dessa casca cilíndrica é definida por
Resposta
(a)
.
(b) .
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)