Um fio condutor retilíneo de comprimento L e seção transversal circular de raio a tem uma resistividade que varia com a distância s ao eixo do fio na forma rho(s)=k s, onde k é uma constante positiva. Uma diferença de potencial V é aplicada às extremidades do fio.
(a) Determine a intensidade do campo elétrico no interior do fio, supondo que ele é uniforme.
(b) Determine a densidade de corrente que atravessa um ponto na seção transversal do fio como função de s.
(c) Determine a corrente total que atravessa a seção transversal do fio. Sugestão: Divida a seção transversal em anéis concêntricos de raio s espessura infinitesimal d s. Calcule a contribuição de cada anel para a corrente utilizando a expressão d I=J cdot d A e integre sobre a seção transversal.
(d) Determine a resistência elétrica do fio.

Passo 1

O enunciado descreve um fio retilíneo de comprimento L e seção circular de raio a, cuja resistividade varia radialmente segundo rho(s)=k,s. Aplicamos uma diferença de potencial V entre as extremidades e queremos (a) o campo elétrico interno, (b) a densidade de corrente J(s), (c) a corrente total I por integração na seção transversal e (d) a resistência R. Vamos usar a lei de Ohm local J=sigma,E com sigma=1/rho e integração em anéis de área dA=2pi s,ds.

Passo 2

Como o fio é homogêneo ao longo de L, o campo elétrico interno é uniforme e dado por
E = VL

Passo 3

A condutividade local é sigma(s)=1/rho(s)=1/(k,s). Aplicando J=sigma,E ao longo do eixo do fio, obtemos
J(s)=Erho(s)=1k,s,VL=Vk,L,s

Passo 4

A corrente total pela seção é a integral de J(s) sobre a área:
I = integral0^a J(s),2pi s,ds = 2pi VkLintegral0^ads = 2pi V,ak,L

Passo 5

A resistência elétrica do fio segue de R=V/I, logo
R = VI = k,L2pi,a

Resposta

(a) E = dfracVL
(b) J(s) = dfracVk,L,s
(c) I = dfrac2pi,V,ak,L
(d) R = dfrack,L2pi,a

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