Um fio condutor retilíneo de comprimento
e seção transversal circular de raio
tem uma resistividade que varia com a distância
ao eixo do fio na forma
, onde
é uma constante positiva. Uma diferença de potencial
é aplicada às extremidades do fio.
(a) Determine a intensidade do campo elétrico no interior do fio, supondo que ele é uniforme.
(b) Determine a densidade de corrente que atravessa um ponto na seção transversal do fio como função de
.
(c) Determine a corrente total que atravessa a seção transversal do fio. Sugestão: Divida a seção transversal em anéis concêntricos de raio
espessura infinitesimal
. Calcule a contribuição de cada anel para a corrente utilizando a expressão
e integre sobre a seção transversal.
(d) Determine a resistência elétrica do fio.
(a) Determine a intensidade do campo elétrico no interior do fio, supondo que ele é uniforme.
(b) Determine a densidade de corrente que atravessa um ponto na seção transversal do fio como função de
(c) Determine a corrente total que atravessa a seção transversal do fio. Sugestão: Divida a seção transversal em anéis concêntricos de raio
(d) Determine a resistência elétrica do fio.
Passo 1
O enunciado descreve um fio retilíneo de comprimento
e seção circular de raio
, cuja resistividade varia radialmente segundo
. Aplicamos uma diferença de potencial
entre as extremidades e queremos (a) o campo elétrico interno, (b) a densidade de corrente
, (c) a corrente total
por integração na seção transversal e (d) a resistência
. Vamos usar a lei de Ohm local
com
e integração em anéis de área
.
Passo 2
Como o fio é homogêneo ao longo de
, o campo elétrico interno é uniforme e dado por
Passo 3
A condutividade local é
. Aplicando
ao longo do eixo do fio, obtemos
Passo 4
A corrente total pela seção é a integral de
sobre a área:
Passo 5
A resistência elétrica do fio segue de
, logo
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)