Expressar a Lei de Gauss em um capacitor de placas paralelas preenchido com materiais dielétricos.
Passo 1
O enunciado pede para expressar a Lei de Gauss num capacitor de placas paralelas preenchido com dielétrico. O conteúdo é a Lei de Gauss em meios materiais, onde precisamos distinguir cargas livres das ligadas e usar o vetor deslocamento elétrico
.
Passo 2
Em vácuo, a forma integral da Lei de Gauss é
onde
é toda carga (livre
ligada) envolvida pela superfície fechada
.
Passo 3
Num dielétrico surge polarização
, gerando cargas ligadas. Para separar as cargas livres, define-se o deslocamento elétrico
Passo 4
A Lei de Gauss em meios materiais, isolando apenas as cargas livres, fica
Em forma diferencial, isso é
Passo 5
No capacitor de placas paralelas, consideramos uma superfície gaussiana cilíndrica que atravessa a placa carregada de área
. Como
é uniforme e normal às placas,
onde
. Logo
Passo 6
Dentro do dielétrico homogêneo, a relação entre
e
é
com
. Portanto
Passo 7
Se o capacitor tiver duas camadas de dielétrico (espessuras
e constantes
), a mesma carga livre gera
e a diferença de potencial é
Resposta
A Lei de Gauss para um capacitor de placas paralelas preenchido com dielétrico, em forma integral, é
com
e, no caso de dielétrico homogêneo,