Expressar a Lei de Gauss em um capacitor de placas paralelas preenchido com materiais dielétricos.

Passo 1

O enunciado pede para expressar a Lei de Gauss num capacitor de placas paralelas preenchido com dielétrico. O conteúdo é a Lei de Gauss em meios materiais, onde precisamos distinguir cargas livres das ligadas e usar o vetor deslocamento elétrico D.

Passo 2

Em vácuo, a forma integral da Lei de Gauss é
ointS E cdot dA = Qrm encvarepsilon0,
onde Qrm enc é toda carga (livre + ligada) envolvida pela superfície fechada S.

Passo 3

Num dielétrico surge polarização P, gerando cargas ligadas. Para separar as cargas livres, define-se o deslocamento elétrico
D = varepsilon0 E + P

Passo 4

A Lei de Gauss em meios materiais, isolando apenas as cargas livres, fica
ointS Dcdot d A ;=;Qrm livre,;enc
Em forma diferencial, isso é
nablacdot D = rhorm livre

Passo 5

No capacitor de placas paralelas, consideramos uma superfície gaussiana cilíndrica que atravessa a placa carregada de área A. Como D é uniforme e normal às placas,
ointS Dcdot d A = D,A + 0 = Qrm livre,
onde Qrm livre=sigmarm livre,A. Logo
D = sigmarm livre

Passo 6

Dentro do dielétrico homogêneo, a relação entre D e E é
D = varepsilon, E,
com varepsilon=varepsilon0,varepsilonr. Portanto
E = Dvarepsilon = sigmarm livrevarepsilon0,varepsilonr

Passo 7

Se o capacitor tiver duas camadas de dielétrico (espessuras d1,d2 e constantes varepsilon1,varepsilon2), a mesma carga livre gera
D=sigmarm livre, Ei=sigmarm livrevarepsiloni, i=1,2,
e a diferença de potencial é
V = E1d1 + E2d2 = sigmarm livrel(d1varepsilon1+d2varepsilon2r)

Resposta

A Lei de Gauss para um capacitor de placas paralelas preenchido com dielétrico, em forma integral, é
boxedointS Dcdot d A = Qrm livre,;enc,
com D=varepsilon0 E+ P e, no caso de dielétrico homogêneo,
D=varepsilon E, D=sigmarm livre, E=sigmarm livrevarepsilon0,varepsilonr

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