Se D=2 rho z^2 arho+rho cos ^2 phi az, calcule: ointS D cdot d S sobre uma região definida por: 2 <= rho <= 5,-1 <= z <= 1,0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o fluxo do campo vetorial D = 2 rho z^2 arho + rho cos^2 phi az sobre uma região definida por 2 <= rho <= 5, -1 <= z <= 1 e 0 < phi < 2pi. Isso está no campo do cálculo vetorial, especificamente usando o Teorema da Divergência para simplificar o cálculo do fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada. O fluxo ointS D cdot dS mede a quantidade de campo que “passa” pela superfície S.
Para facilitar nossos cálculos, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo vetorial dentro do volume limitado por essa superfície. Ou seja:
ointS D cdot dS = integral triplaV (nabla cdot D) , dV
Isso vai simplificar bastante, já que vamos trabalhar com uma integral tripla sobre o volume.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de D, nabla cdot D, em coordenadas cilíndricas. A fórmula da divergência em coordenadas cilíndricas (rho, phi, z) é:
nabla cdot D = 1rho partialpartial rho (rho Drho) + 1rho partial Dphipartial phi + partial Dzpartial z
No nosso caso, D = 2 rho z^2 arho + rho cos^2 phi az, então Drho = 2 rho z^2, Dphi = 0, e Dz = rho cos^2 phi.
Agora, vamos calcular cada termo:
  1. 1rho partialpartial rho (rho Drho) = 1rho partialpartial rho (rho cdot 2 rho z^2) = 1rho partialpartial rho (2 rho^2 z^2) = 1rho (4 rho z^2) = 4 z^2
  2. 1rho partial Dphipartial phi = 1rho cdot 0 = 0 (já que Dphi = 0)
  3. partial Dzpartial z = partialpartial z (rho cos^2 phi) = 0 (já que rho cos^2 phi não depende de z)
Então, a divergência é:
nabla cdot D = 4 z^2 + 0 + 0 = 4 z^2

Passo 4

Agora que temos a divergência, vamos montar a integral tripla sobre o volume V definido por 2 <= rho <= 5, -1 <= z <= 1 e 0 < phi < 2pi:
integral triplaV (nabla cdot D) , dV = integral triplaV 4 z^2 , dV
Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é dV = rho , drho , dphi , dz. Então, a integral fica:
integral triplaV 4 z^2 cdot rho , drho , dphi , dz

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo, integramos cada variável uma de cada vez.
Primeiro, a integral total é:
integral0^2pi integral-1^1 integral2^5 4 z^2 rho , drho , dz , dphi
Vamos começar integrando em relação a rho:
integral2^5 4 z^2 rho , drho = 4 z^2 [ rho^22 ]2^5 = 4 z^2 ( 252 - 42 ) = 4 z^2 cdot 212 = 42 z^2
Agora, a integral fica:
integral0^2pi integral-1^1 42 z^2 , dz , dphi
Integrando em relação a z:
integral-1^1 42 z^2 , dz = 42 [ z^33 ]-1^1 = 42 ( 13 - (-13) ) = 42 cdot 23 = 28
Agora, sobra integrar em relação a phi:
integral0^2pi 28 , dphi = 28 cdot 2pi = 56pi

Resposta

O fluxo ointS D cdot dS sobre a região dada é igual a 56pi.

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