, calcule:
sobre uma região definida por:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o fluxo do campo vetorial
sobre uma região definida por
,
e
. Isso está no campo do cálculo vetorial, especificamente usando o Teorema da Divergência para simplificar o cálculo do fluxo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada. O fluxo
mede a quantidade de campo que “passa” pela superfície
.
Para facilitar nossos cálculos, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo vetorial dentro do volume limitado por essa superfície. Ou seja:
Isso vai simplificar bastante, já que vamos trabalhar com uma integral tripla sobre o volume.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
,
, em coordenadas cilíndricas. A fórmula da divergência em coordenadas cilíndricas
é:
No nosso caso,
, então
,
, e
.
Agora, vamos calcular cada termo:
-
-
(já que ) -
(já que não depende de )
Então, a divergência é:
Passo 4
Agora que temos a divergência, vamos montar a integral tripla sobre o volume
definido por
,
e
:
Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é
. Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo, integramos cada variável uma de cada vez.
Primeiro, a integral total é:
Vamos começar integrando em relação a
:
Agora, a integral fica:
Integrando em relação a
:
Agora, sobra integrar em relação a
:
Resposta
O fluxo
sobre a região dada é igual a
.