Exercício 4: Uma rede de difração tem 1,26 times 104 ranhuras uniformemente espaçadas em uma região de largura w=25,4 mm. A rede é iluminada perpendicularmente pela luz amarela de uma lâmpada de vapor de sódio. Essa luz contém duas linhas de emissão muito próximas (conhecidas como dubleto do sódio) de comprimentos de onda 589,00 nm e 589,59 nm.
(a) Qual é o ângulo correspondente ao máximo de primeira ordem (de cada lado do centro da figura de difração) para o comprimento de onda de 589,00 nm?
(b) Usando a dispersão da rede, calcule a separação angular das duas linhas de primeira ordem.
© Qual é o menor número de ranhuras que uma rede pode ter sem que se torne impossível distinguir as linhas de primeira ordem do dubleto do sódio?

Passo 1

Então, o enunciado diz o seguinte: temos uma rede de difração com 1,26×10^4 ranhuras distribuídas uniformemente ao longo de uma largura w=25,4 mm. Iluminamos perpendicularmente com luz amarela de sódio, que é um dubleto com λ₁=589,00 nm e λ₂=589,59 nm.
Conteúdo: óptica – difração em rede e poder de resolução.
O que vamos usar:
  1. a condição de máximos de uma rede d,sintheta = m,lambda,
  2. diferencial para achar separação angular De
  3. poder resolvente R = lambdaDe

Passo 2

Primeiro, calculamos o espaçamento entre ranhuras, d = wNtotal = 0.02541,26times10^4 approx 2,0159times10^-6,m .
w = 25,4 mm = 0,0254 m,
N_total = 1,26×10^4.
Logo
sintheta1 = m,lambda1d = 5,89times10^-72,0159times10^-6 approx 0,29223
Para o máximo de primeira ordem (m=1) com λ₁=589,00 nm = 5,89×10⁻⁷ m, aplicamos
theta1 = arcsin(0,29223) approx 16,99^circ
Então

Passo 3

Agora a separação angular entre as linhas do dubleto, ainda em m=1. A gente faz
De
onde costheta1 = raiz1 - sin^2theta1 = raiz1 - (0,29223)^2 approx 0,95635 , e
De
Logo

Passo 4

Para distinguir duas linhas precisamos que o poder resolvente R = lambdaDe= m,N da rede seja pelo menos
N >= lambdaDe
No caso m=1, então

Resposta

(a) .
(b) (ou ).
© É preciso, no mínimo, cerca de ranhuras para resolver o dubleto na primeira ordem.

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