Exercício 3: Em um experimento de dupla fenda, o comprimento de onda lambda da luz incidente é 405 nm , a distância d entre as fendas é 19,44 mu m e a largura a das fendas é 4,05 mu m. Considere a interferência da luz que passa pelas duas fendas e também a difração da luz em cada fenda.
(a) Quantas franjas claras podem ser observadas no pico central da envoltória de difração?
(b) Quantas franjas claras podem ser observadas em um dos dois primeiros máximos secundários da figura de difração?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre interferência e difração em um experimento de dupla fenda. A gente vai trabalhar com os conceitos de comprimento de onda, distância entre as fendas e largura das fendas para descobrir quantas franjas claras aparecem na envoltória de difração, tanto no pico central quanto nos primeiros máximos secundários. Vamos precisar usar as fórmulas de interferência e difração para calcular isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma franja clara em interferência de dupla fenda. No experimento de dupla fenda, a luz que passa pelas duas fendas interfere, criando franjas claras (máximos) e escuras (mínimos) na tela. A condição para as franjas claras é dada por:
d sin theta = m lambda
Onde:
  • $ d $ é a distância entre as fendas,
  • $ \lambda $ é o comprimento de onda da luz,
  • $ m $ é o número da ordem da franja (m = 0, ±1, ±2, …),
  • $ \theta $ é o ângulo em relação à direção central.

Passo 3

Agora, vamos considerar a difração da luz em cada fenda. A largura da fenda $ a $ causa uma envoltória de difração que limita o número de franjas de interferência que podem ser observadas. A condição para os mínimos de difração é:
a
Onde $ n $ é a ordem do mínimo de difração (n = ±1, ±2, …). O pico central da envoltória de difração vai de $ -\theta_1 $ a $ \theta_1 $, onde:
a sin theta = n lambda

Passo 4

Para saber quantas franjas claras de interferência cabem no pico central da difração, precisamos encontrar os valores de $ m $ que satisfazem ambas as condições de interferência e difração dentro de $ \theta_1 $.
Primeiro, calculamos $ \theta_1 $:
m
Substituindo os valores:
theta1
Então:
theta1

Passo 5

Agora, vamos aplicar a condição de interferência dentro desse ângulo:
d sin theta <= d sin theta1
Substituindo os valores:
19,44 times 10^-6 m times 0,1 = 1,944 times 10^-6 m
E a condição para as franjas claras é:
m lambda <= d sin theta1 lambda
Então:
m <= d sin theta1lambda = 19,44 times 10^-6405 times 10^-9 approx 48
Isso significa que $ m $ varia de -48 a +48, totalizando 97 franjas claras no pico central da difração.

Passo 6

Para a parte (b), queremos saber quantas franjas claras aparecem em um dos dois primeiros máximos secundários da difração. Os máximos secundários de difração ocorrem onde a envoltória de difração tem seu segundo pico, ou seja, em ângulos maiores que $ \theta_1 $.
A posição dos máximos secundários de difração pode ser mais complexa de calcular, mas para simplificação, podemos considerar que a largura da envoltória de difração diminui conforme avançamos para máximos secundários, permitindo menos franjas de interferência.
Sem uma fórmula específica para os máximos secundários, podemos estimar que em cada um dos primeiros dois máximos secundários cabem aproximadamente metade das franjas do pico central.

Resposta

(a) 97 franjas claras podem ser observadas no pico central da envoltória de difração.
(b) Aproximadamente 24 franjas claras podem ser observadas em cada um dos dois primeiros máximos secundários da envoltória de difração.

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