(d) Sabendo que f(x)=x^{3}-4 x \ln (x+2), calcule o erro absoluto cometido na questão \text{(c)}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=x^{3}-4 x \ln(x+2) e pede: calcular o erro absoluto cometido na questão \text{(c)}.
Informações que temos do enunciado:
  • A função é \displaystyle f(x)=x^{3}-4 x \ln(x+2).
Informações que estão faltando (e que são essenciais para responder (d)):
  • Não foi fornecido o resultado da questão \text{(c)}: ou seja, falta o valor aproximado obtido em \text{(c)} (denotá‑lo por x_{\text{apx}}), ou então falta o valor de referência/exato com que comparar. Sem esse valor não há como calcular numericamente o erro absoluto.
O que a pergunta realmente exige (esclarecendo o pedido): calcular o erro absoluto significa encontrar a magnitude da diferença entre um valor exato (ou referência mais precisa) e o valor aproximado obtido em \text{(c)}. Portanto é preciso saber qual foi o valor aproximado dado em \text{(c)} ou ter acesso ao valor exato/mais preciso para compará‑lo.

Passo 2

Definição e fórmula do erro absoluto — o que é e como se calcula:
  • O erro absoluto é definido por
E_{\text{abs}}=\bigl|x_{\text{real}}-x_{\text{apx}}\bigr|,
onde:
  • x_{\text{real}} é o valor exato ou uma referência “verdadeira” (por exemplo, uma raiz mais precisa de f ou o valor exato da grandeza que se aproxima);
  • x_{\text{apx}} é o valor aproximado obtido na questão \text{(c)} (o que queremos avaliar).
Explicação simples: o erro absoluto mede “a distância” entre o valor aproximado e o valor correto. Sempre é um número não negativo.

Passo 3

Como obter x_{\text{real}} para comparar (se a questão \text{(c)} envolvia encontrar uma raiz de f):
  • Se \text{(c)} pediu uma raiz de f(x)=0 e deu uma aproximação x_{\text{apx}}, então x_{\text{real}} pode ser obtido numericamente com maior precisão usando um método de iteração (por exemplo Newton–Raphson) e tomando como referência a aproximação resultante com tolerância bem pequena.
  • Para aplicar Newton–Raphson precisamos da derivada f'(x). Vamos calcular f'(x) de forma didática:
    • Derivada de x^{3} é 3x^{2}.
    • Derivada de -4x\ln(x+2): usar a regra do produto. Para g(x)=x\ln(x+2) vale g'(x)=\ln(x+2)+\dfrac{x}{x+2}. Multiplicando por -4 -4\ln(x+2)-\dfrac{4x}{x+2}.
    • Logo,
f'(x)=3x^{2}-4\ln(x+2)-\frac{4x}{x+2}.
  • A iteração de Newton é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  • Critério de parada prático: parar quando |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon para uma tolerância \varepsilon pequena (por exemplo \varepsilon=10^{-8}) ou quando |f(x_{n+1})| for suficientemente pequeno. O último x_n obtido será uma boa aproximação de x_{\text{real}}.

Passo 4

Procedimento passo a passo para calcular o erro absoluto na prática (sem usar calculadora pesada na prova — ideia geral que dá para fazer à mão com poucas iterações ou checar com calculadora):
  1. Pegue o valor aproximado de \text{(c)}, isto é x_{\text{apx}} (esse valor precisaria ter vindo da questão \text{(c)}; aqui ele não foi fornecido).
  2. Se quiser uma referência mais precisa x_{\text{ref}} (que usaremos como x_{\text{real}}), aplique algumas iterações de Newton partindo de x_0=x_{\text{apx}}: x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})},\qquad x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})},\\ \text{etc.}Faça iterações até que |x_{k+1}-x_k|<\varepsilon.
  3. Tome x_{\text{real}}\approx x_k (o último valor) e calcule
E_{\text{abs}}=\bigl|x_{\text{real}}-x_{\text{apx}}\bigr|.
  1. Se \text{(c)} não tratou de raiz, mas de outra aproximação (por exemplo valor de f ou integral ou série truncada), o princípio é o mesmo: obter referência mais precisa e subtrair o valor aproximado.
Observação didática e empática: Eu sei que isso parece caminho longo quando a prova tá perto — mas a ideia principal é simples: encontrar uma referência confiável (mais precisa) e tomar a diferença absoluta. Se em \text{(c)} já foi dada uma estimativa de erro ou truncamento, usar essa informação direta costuma ser mais rápido.

Passo 5

Impossibilidade de fornecer um número final aqui:
  • Sem o valor aproximado obtido em \text{(c)} (ou sem o valor exato de referência), não há como calcular numericamente E_{\text{abs}}. O enunciado de (d) depende diretamente do resultado de \text{(c)}.
Se quiser, eu posso:
  • (a) Receber o valor aproximado que foi obtido em \text{(c)} e aí executar as iterações necessárias e calcular o erro absoluto passo a passo;
  • ou (b) Se preferir, posso assumir um valor simbólico x_{\text{apx}} e mostrar explicitamente as primeiras iterações de Newton usando esse símbolo, para ilustrar como proceder.
Mas sem esse valor vindo de \text{(c)} não é possível dar o número do erro absoluto.

Resposta

Não é possível calcular o erro absoluto porque o valor aproximado obtido na questão \text{(c)} (ou um valor de referência/exato) não foi fornecido.

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