1. Dado o seguinte conjunto de pontos sobre a função f(x) :
x_{i} -0,8 0.12 0,8 1,9
y_{i} 0,0714 -0,359 -2,7828 -3,4844
(a) Encontre o polinômio que interpola o conjunto de pontos através do método das diferenças divididas. Utilize arredondamento de 4 casas decimais.

Passo 1

O enunciado fornece quatro pontos da função f(x) e pede o polinômio interpolador usando diferenças divididas, com arredondamento a 4 casas decimais. Os dados são:
\begin{array}{c|cccc} x_{i} & -0,8 & 0,12 & 0,8 & 1,9\\hline y_{i} & 0,0714 & -0,359 & -2,7828 & -3,4844 \end{array}
O que se pede:
  • Determinar o polinômio interpolador que passa por esses quatro pontos utilizando o método das diferenças divididas (forma de Newton).
  • Usar arredondamento de 4 casas decimais nos coeficientes/resultados.

Passo 2

O método das diferenças divididas constrói o polinômio na forma de Newton:
P(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})+a_{3}(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2}),
onde os coeficientes a_k são as diferenças divididas:
\begin{aligned} a_{0}&=f[x_{0}]=y_{0},\\[4pt] a_{1}&=f[x_{0},x_{1}]=\dfrac{f[x_{1}]-f[x_{0}]}{x_{1}-x_{0}},\\[6pt] a_{2}&=f[x_{0},x_{1},x_{2}]=\dfrac{f[x_{1},x_{2}]-f[x_{0},x_{1}]}{x_{2}-x_{0}},\\[6pt] a_{3}&=f[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]=\dfrac{f[x_{1},x_{2},x_{3}]-f[x_{0},x_{1},x_{2}]}{x_{3}-x_{0}}. \end{aligned}
Explicando passo a passo:
  • f[x_i] é simplesmente y_i.
  • f[x_i,x_j] é a inclinação média entre os pontos x_i e x_j.
  • Diferenças divididas de ordem superior medem como essas inclinações vão mudando e servem como coeficientes para a forma de Newton.
    Agora vamos calcular essas diferenças divididas numericamente e arredondar a 4 casas decimais conforme pedido.]

Passo 3

Calcular as diferenças divididas de primeira ordem (usando os dados do Passo 1). Vou indicar o cálculo e o valor arredondado a 4 casas decimais:
Para x_{0}=-0,8,\;y_{0}=0,0714 e x_{1}=0,12,\;y_{1}=-0,359:
f[x_{0},x_{1}]=\dfrac{-0,359-0,0714}{0,12-(-0,8)}=\dfrac{-0,4304}{0,92}=-0,4678260869\approx -0,4678.
Para x_{1}=0,12,\;y_{1}=-0,359 e x_{2}=0,8,\;y_{2}=-2,7828:
f[x_{1},x_{2}]=\dfrac{-2,7828-(-0,359)}{0,8-0,12}=\dfrac{-2,4238}{0,68}=-3,5644117647\approx -3,5644.
Para x_{2}=0,8,\;y_{2}=-2,7828 e x_{3}=1,9,\;y_{3}=-3,4844:
f[x_{2},x_{3}]=\dfrac{-3,4844-(-2,7828)}{1,9-0,8}=\dfrac{-0,7016}{1,1}=-0,6378181818\approx -0,6378.

Passo 4

Calcular as diferenças divididas de segunda ordem:
Usando f[x_{0},x_{1}] e f[x_{1},x_{2}]:
f[x_{0},x_{1},x_{2}]=\dfrac{-3,5644117647-(-0,4678260869)}{0,8-(-0,8)} =\dfrac{-3,0965856778}{1,6}=-1,9353660486\approx -1,9354.
Usando f[x_{1},x_{2}] e f[x_{2},x_{3}]:
f[x_{1},x_{2},x_{3}]=\dfrac{-0,6378181818-(-3,5644117647)}{1,9-0,12} =\dfrac{2,9265935829}{1,78}=1,6430899892\approx 1,6431.

Passo 5

Calcular a diferença dividida de terceira ordem (última necessária para grau 3):
f[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}] =\dfrac{1,6430899892-(-1,9353660486)}{1,9-(-0,8)} =\dfrac{3,5784560378}{2,7}=1,3253503833\approx 1,3254.

Passo 6

Agora temos os coeficientes (arredondados a 4 casas decimais):
\begin{aligned} a_{0}&=f[x_{0}]=0,0714,\\[4pt] a_{1}&=f[x_{0},x_{1}]=-0,4678,\\[4pt] a_{2}&=f[x_{0},x_{1},x_{2}]=-1,9354,\\[4pt] a_{3}&=f[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]=1,3254. \end{aligned}
Assim o polinômio na forma de Newton (com x_{0}=-0,8,\;x_{1}=0,12,\;x_{2}=0,8) é:
P(x)=0,0714-0,4678\,(x+0,8)-1,9354\,(x+0,8)(x-0,12)+1,3254\,(x+0,8)(x-0,12)(x-0,8).]

Passo 7

Expandindo o polinômio acima e arredondando os coeficientes finais a 4 casas decimais, obtém-se a forma padrão (polinômio em potências de x):
P(x)=1,3254\,x^{3}-2,0944\,x^{2}-2,6322\,x-0,0152.
(Verificação rápida: ao avaliar este polinômio nos pontos x=-0,8,\;0,12,\;0,8,\;1,9 recuperam-se, dentro do arredondamento, os valores y dados, confirmando a interpolação.)

Resposta

P(x)=1,3254\,x^{3}-2,0944\,x^{2}-2,6322\,x-0,0152

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