- Dado o seguinte conjunto de pontos sobre a função
:
0.12
0,8
1,9
0,0714
(a) Encontre o polinômio que interpola o conjunto de pontos através do método das diferenças divididas. Utilize arredondamento de 4 casas decimais.
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0.12 | 0,8 | 1,9 |
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0,0714 |
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Passo 1
O enunciado fornece quatro pontos da função
e pede o polinômio interpolador usando diferenças divididas, com arredondamento a 4 casas decimais. Os dados são:
O que se pede:
- Determinar o polinômio interpolador que passa por esses quatro pontos utilizando o método das diferenças divididas (forma de Newton).
- Usar arredondamento de 4 casas decimais nos coeficientes/resultados.
Passo 2
O método das diferenças divididas constrói o polinômio na forma de Newton:
onde os coeficientes
são as diferenças divididas:
Explicando passo a passo:
-
é simplesmente . -
é a inclinação média entre os pontos e . - Diferenças divididas de ordem superior medem como essas inclinações vão mudando e servem como coeficientes para a forma de Newton.
Agora vamos calcular essas diferenças divididas numericamente e arredondar a 4 casas decimais conforme pedido.]
Passo 3
Calcular as diferenças divididas de primeira ordem (usando os dados do Passo 1). Vou indicar o cálculo e o valor arredondado a 4 casas decimais:
Para
e
:
Para
e
:
Para
e
:
Passo 4
Calcular as diferenças divididas de segunda ordem:
Usando
e
:
Usando
e
:
Passo 5
Calcular a diferença dividida de terceira ordem (última necessária para grau 3):
Passo 6
Agora temos os coeficientes (arredondados a 4 casas decimais):
Assim o polinômio na forma de Newton (com
) é:
Passo 7
Expandindo o polinômio acima e arredondando os coeficientes finais a 4 casas decimais, obtém-se a forma padrão (polinômio em potências de
):
(Verificação rápida: ao avaliar este polinômio nos pontos
recuperam-se, dentro do arredondamento, os valores
dados, confirmando a interpolação.)