1. Seja uma função f(x) definida sobre o seguinte conjunto de pontos:
x_{i} 0 0.6 1,6
y_{i} 0,2969 0,2725 0,2074
(d) Sabendo que f(x)=\frac{1}{e^{x-1}+3}, calcule o erro absoluto cometido na questão (c).

Passo 1

O enunciado fornece os três pontos discreteis da função:
  • x_{0}=0 com y_{0}=0,2969
  • x_{1}=0,6 com y_{1}=0,2725
  • x_{2}=1,6 com y_{2}=0,2074
Além disso diz que a função exata é
f(x)=\frac{1}{e^{x-1}+3}.
A pergunta (d) é: sabendo a expressão exata acima, calcular o erro absoluto cometido na questão (c). Ou seja, precisamos comparar o valor aproximado obtido em (c) com o valor exato dado por f(x) e fornecer o erro absoluto. (O enunciado não traz explicitamente o resultado de (c); nas próximas etapas vou reconstruir a aproximação natural que normalmente se pede usando esses três pontos — essa reconstrução é necessária para calcular o erro exigido.)

Passo 2

Escolha do método (explicação didática curta).
  • Temos três pontos, então a aproximação natural que costuma aparecer em (c) é o polinômio interpolador quadrático que passa por esses três pontos. Esse polinômio avaliado em um ponto de interesse (tipicamente x=1) dá a estimativa usada em (c).
  • Vou, portanto, construir o polinômio interpolador de Lagrange de grau 2 usando os pontos dados e avaliar em x=1. Depois comparo com o valor exato f(1) e calculo o erro absoluto.
  • Rápida lembrança da fórmula de Lagrange (tradução didática): para pontos (x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2) o interpolador p(x) é
p(x)=\sum_{i=0}^{2} y_i\,L_i(x)
onde cada polinômio base L_i(x) é
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\ne i}}^{2}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Aqui L_i(x_j)=\delta_{ij} (1 se i=j, 0 caso contrário), de forma que p(x_i)=y_i.

Passo 3

Cálculo dos polinômios de base L_i em x=1.
Vamos calcular L_0(1),L_1(1),L_2(1) usando os x_i fornecidos.
  • Para L_0(1) (com x_0=0):
L_0(1)=\frac{1-x_1}{x_0-x_1}\cdot\frac{1-x_2}{x_0-x_2} =\frac{1-0,6}{0-0,6}\cdot\frac{1-1,6}{0-1,6}.
Calcule cada fator:
\frac{1-0,6}{0-0,6}=\frac{0,4}{-0,6}=-\tfrac{2}{3}=-0,666\ldots
\frac{1-1,6}{0-1,6}=\frac{-0,6}{-1,6}=0,375.
Produto:
L_0(1)=-\tfrac{2}{3}\times0,375=-0,25.
  • Para L_1(1) (com x_1=0,6):
L_1(1)=\frac{1-x_0}{x_1-x_0}\cdot\frac{1-x_2}{x_1-x_2} =\frac{1-0}{0,6-0}\cdot\frac{1-1,6}{0,6-1,6}.
Calcule:
\frac{1-0}{0,6}=\frac{1}{0,6}=\tfrac{5}{3}\approx1,666\ldots
\frac{1-1,6}{0,6-1,6}=\frac{-0,6}{-1,0}=0,6.
Produto:
L_1(1)=\tfrac{5}{3}\times0,6=1,0.
  • Para L_2(1) (com x_2=1,6):
L_2(1)=\frac{1-x_0}{x_2-x_0}\cdot\frac{1-x_1}{x_2-x_1} =\frac{1-0}{1,6-0}\cdot\frac{1-0,6}{1,6-0,6}.
Calcule:
\frac{1}{1,6}=0,625,\qquad \frac{0,4}{1,0}=0,4.
Produto:
L_2(1)=0,625\times0,4=0,25.
Verificação rápida: L_0(1)+L_1(1)+L_2(1)=-0,25+1+0,25=1 — é coerente.

Passo 4

Avaliação do polinômio interpolador p(1).
Usando p(1)=y_0L_0(1)+y_1L_1(1)+y_2L_2(1), substituímos os y_i:
p(1)=0,2969\cdot(-0,25)+0,2725\cdot1+0,2074\cdot0,25.
Calculando termo a termo:
0,2969\times(-0,25)=-0,074225,
0,2725\times1=0,2725,
0,2074\times0,25=0,05185.
Somando:
p(1)=-0,074225+0,2725+0,05185=0,250125.
Portanto a aproximação obtida (a estimativa que corresponde ao que normalmente se teria em (c)) é
p(1)=0,250125.

Passo 5

Cálculo do valor exato f(1) com a fórmula dada.
Substituindo x=1 em f(x)=\dfrac{1}{e^{x-1}+3}:
f(1)=\frac{1}{e^{1-1}+3}=\frac{1}{e^{0}+3}=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}=0,25.

Passo 6

Cálculo do erro absoluto.
Erro absoluto é |p(1)-f(1)|. Assim:
\text{erro absoluto}=|0,250125-0,25|=0,000125.
Em notação científica:
0,000125=1,25\times10^{-4}.

Passo 7

Interpretação breve (para ficar seguro na prova): o interpolador quadrático usando os três pontos deu uma estimativa muito próxima do valor exato em x=1; o erro absoluto é da ordem de 10^{-4}. Isso significa que a aproximação esteve ótima para esses dados e esse ponto.

Resposta

0,000125

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