- Seja uma função
definida sobre o seguinte conjunto de pontos:
0
0.6
1,6
0,2969
0,2725
0,2074
(d) Sabendo que
, calcule o erro absoluto cometido na questão (c).
|
|
0 | 0.6 | 1,6 |
|
|
0,2969 | 0,2725 | 0,2074 |
Passo 1
O enunciado fornece os três pontos discreteis da função:
-
com -
com -
com
Além disso diz que a função exata é
A pergunta (d) é: sabendo a expressão exata acima, calcular o erro absoluto cometido na questão (c). Ou seja, precisamos comparar o valor aproximado obtido em (c) com o valor exato dado por
e fornecer o erro absoluto. (O enunciado não traz explicitamente o resultado de (c); nas próximas etapas vou reconstruir a aproximação natural que normalmente se pede usando esses três pontos — essa reconstrução é necessária para calcular o erro exigido.)
Passo 2
Escolha do método (explicação didática curta).
- Temos três pontos, então a aproximação natural que costuma aparecer em (c) é o polinômio interpolador quadrático que passa por esses três pontos. Esse polinômio avaliado em um ponto de interesse (tipicamente
) dá a estimativa usada em (c). - Vou, portanto, construir o polinômio interpolador de Lagrange de grau 2 usando os pontos dados e avaliar em
. Depois comparo com o valor exato e calculo o erro absoluto. - Rápida lembrança da fórmula de Lagrange (tradução didática): para pontos
o interpolador é
onde cada polinômio base
é
Aqui
(1 se
, 0 caso contrário), de forma que
.
Passo 3
Cálculo dos polinômios de base
em
.
Vamos calcular usando os
fornecidos.
Vamos calcular
- Para
(com ):
Calcule cada fator:
Produto:
- Para
(com ):
Calcule:
Produto:
- Para
(com ):
Calcule:
Produto:
Verificação rápida:
— é coerente.
Passo 4
Avaliação do polinômio interpolador
.
Usando , substituímos os
:
Usando
Calculando termo a termo:
Somando:
Portanto a aproximação obtida (a estimativa que corresponde ao que normalmente se teria em (c)) é
Passo 5
Cálculo do valor exato
com a fórmula dada.
Substituindo em
:
Substituindo
Passo 6
Cálculo do erro absoluto.
Erro absoluto é . Assim:
Erro absoluto é
Em notação científica:
Passo 7
Interpretação breve (para ficar seguro na prova): o interpolador quadrático usando os três pontos deu uma estimativa muito próxima do valor exato em
; o erro absoluto é da ordem de
. Isso significa que a aproximação esteve ótima para esses dados e esse ponto.
Resposta
0,000125