Se
e
são métricas equivalentes sobre
, mostre que
define uma métrica sobre
e que esta é equivalente a
e
.
Passo 1
O que o exercício pede e o que nos é dado.
- O enunciado dá duas métricas
e sobre um conjunto e afirma que elas são métricas equivalentes (ou seja, geram a mesma topologia em ). - Pede-se que mostremos que a função
define uma métrica sobre
e que essa nova métrica
é equivalente a
e a
.
Observações importantes (informações relevantes do enunciado):
- Temos que usar que
e são métricas (logo satisfazem as propriedades métricas). - Temos que usar que
e são equivalentes topologicamente (mesma topologia). - Não há dados numéricos adicionais; o trabalho é puramente teórico.
Passo 2
Recordando as propriedades que uma função
deve satisfazer para ser métrica — vamos precisar verificar cada uma para
.
As propriedades são:
- Não-negatividade:
para todos . - Identidade dos indiscerníveis:
se e somente se . - Simetria:
para todos . - Desigualdade triangular:
para todos .
Vou checar cada uma para
.
Passo 3
Verificando não-negatividade, identidade dos indiscerníveis e simetria.
- Não-negatividade: como
e são métricas, e para todo . Logo
- Identidade dos indiscerníveis: se
então e , assim . Reciproca: se então , o que implica e . Como cada satisfaz a identidade dos indiscerníveis, segue . Portanto
- Simetria: para todo
temos e , logo
Até aqui,
satisfaz as três primeiras propriedades de uma métrica.
Passo 4
Verificando a desigualdade triangular para
.
Queremos mostrar que, para quaisquer
,
Começamos escrevendo a definição:
Como
e
são métricas, temos as desigualdades triangulares
Portanto
Agora uso uma desigualdade elementar: para quaisquer números não-negativos
vale
Aplicando com
obtemos
Mas o lado direito é exatamente
. Compondo as desigualdades chegamos a
Logo
satisfaz a desigualdade triangular.
Passo 5
Conclusão:
é uma métrica.
Juntando os resultados dos passos anteriores (não-negatividade, identidade dos indiscerníveis, simetria e desigualdade triangular), concluímos que
é uma métrica sobre
.
Agora precisamos mostrar que
é equivalente (topologicamente) a
e a
.
Passo 6
Definição usada de “métricas equivalentes” e estratégia prática.
- Vou entender “métricas equivalentes” como: duas métricas geram a mesma topologia em
. Em termos práticos isto significa que a identidade
é um homeomorfismo (continuidade em ambas as direções), ou equivalentemente que, para todo
, as bolas abertas em uma métrica podem ser obtidas a partir de bolas em outra métrica (precisamente, para cada
e cada raio existe um raio adequado na outra métrica que dá inclusão de bolas).
- A estratégia: mostrar que as bolas abertas de
se relacionam de forma simples com as bolas de e e, usando a hipótese de equivalência entre e , deduzir que as topologias coincidem.
Passo 7
Fato útil sobre bolas na métrica
.
Fixe
e
. A bola aberta de raio
em torno de
relativa a
é
Pela definição de
,
Portanto obtemos a igualdade de conjuntos
Disto seguem inclusões imediatas:
Isto mostra que a topologia gerada por
é mais forte (ou igual) que a interseção das topologias geradas por
e
. Mas queremos comparar
separadamente com
e
.
Passo 8
Mostrar que as topologias de
e
coincidem (o mesmo vale para
por simetria).
Queremos provar duas inclusões de famílias de abertos (ou continuidade das identidades):
- Cada bola
contém uma bola de centrada em (ou, equivalente, a identidade é contínua). - Cada bola
contém uma bola de centrada em (ou é contínua).
Já temos que
, então
é contínua (pois pré-imagem de bola em
é aberta em
). Logo uma direção está feita.
Para a outra direção usamos a hipótese de equivalência entre
e
: como
e
geram a mesma topologia, a aplicação identidade
é contínua em cada ponto. Em termos de bolas, isto significa: fixado
e
, existe
tal que
Agora escolhemos
. Então, para todo
temos simultaneamente
e
(porque
). Portanto
. Em resumo:
Isto mostra que para cada bola
existe uma bola de
(com raio
) contida em
, ou equivalentemente que
é contínua em
. Como
é arbitrário, temos continuidade global.
Portanto
é contínua em ambas as direções entre
e
, o que implica que
e
geram a mesma topologia (são equivalentes).
Passo 9
Conclusão final sobre equivalência com
e resumo.
A argumentação do passo anterior usa só a simetria entre
e
(ou seja, trocando os papéis de
e
o mesmo raciocínio vale), portanto obtemos também que
é equivalente a
.
Resumo: mostramos que
é métrica e que as bolas de
são interseção das bolas de
e
, e usando a equivalência
obtivemos que
tem a mesma topologia que
e
. Assim
é equivalente a ambas.
Resposta
A métrica