Se d_{1} e d_{2} são métricas equivalentes sobre M, mostre que d(x, y)=\max \left\{d_{1}(x, y), d_{2}(x, y)\right\} define uma métrica sobre M e que esta é equivalente a d_{1} e d_{2}.

Passo 1

O que o exercício pede e o que nos é dado.
  • O enunciado dá duas métricas d_{1} e d_{2} sobre um conjunto M e afirma que elas são métricas equivalentes (ou seja, geram a mesma topologia em M).
  • Pede-se que mostremos que a função
d(x,y)=\max\{d_{1}(x,y),\,d_{2}(x,y)\}
define uma métrica sobre M e que essa nova métrica d é equivalente a d_{1} e a d_{2}.
Observações importantes (informações relevantes do enunciado):
  • Temos que usar que d_{1} e d_{2} são métricas (logo satisfazem as propriedades métricas).
  • Temos que usar que d_{1} e d_{2} são equivalentes topologicamente (mesma topologia).
  • Não há dados numéricos adicionais; o trabalho é puramente teórico.

Passo 2

Recordando as propriedades que uma função \rho:M\times M\to\mathbb{R} deve satisfazer para ser métrica — vamos precisar verificar cada uma para \rho=d.
As propriedades são:
  1. Não-negatividade: \rho(x,y)\ge 0 para todos x,y\in M.
  2. Identidade dos indiscerníveis: \rho(x,y)=0 se e somente se x=y.
  3. Simetria: \rho(x,y)=\rho(y,x) para todos x,y\in M.
  4. Desigualdade triangular: \rho(x,z)\le \rho(x,y)+\rho(y,z) para todos x,y,z\in M.
Vou checar cada uma para \;d(x,y)=\max\{d_{1}(x,y),d_{2}(x,y)\}.

Passo 3

Verificando não-negatividade, identidade dos indiscerníveis e simetria.
  • Não-negatividade: como d_{1} e d_{2} são métricas, d_{1}(x,y)\ge 0 e d_{2}(x,y)\ge 0 para todo x,y. Logo
d(x,y)=\max\{d_{1}(x,y),d_{2}(x,y)\}\ge 0.
  • Identidade dos indiscerníveis: se x=y então d_{1}(x,y)=0 e d_{2}(x,y)=0, assim d(x,y)=\max\{0,0\}=0. Reciproca: se d(x,y)=0 então \max\{d_{1}(x,y),d_{2}(x,y)\}=0, o que implica d_{1}(x,y)=0 e d_{2}(x,y)=0. Como cada d_{i} satisfaz a identidade dos indiscerníveis, segue x=y. Portanto
d(x,y)=0 \iff x=y.
  • Simetria: para todo x,y temos d_{1}(x,y)=d_{1}(y,x) e d_{2}(x,y)=d_{2}(y,x), logo
d(x,y)=\max\{d_{1}(x,y),d_{2}(x,y)\}=\max\{d_{1}(y,x),d_{2}(y,x)\}=d(y,x).
Até aqui, d satisfaz as três primeiras propriedades de uma métrica.

Passo 4

Verificando a desigualdade triangular para d.
Queremos mostrar que, para quaisquer x,y,z\in M,
d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z).
Começamos escrevendo a definição:
d(x,z)=\max\{d_{1}(x,z),d_{2}(x,z)\}.
Como d_{1} e d_{2} são métricas, temos as desigualdades triangulares
d_{1}(x,z)\le d_{1}(x,y)+d_{1}(y,z), \qquad d_{2}(x,z)\le d_{2}(x,y)+d_{2}(y,z).
Portanto
d(x,z)=\max\{d_{1}(x,z),d_{2}(x,z)\} \le \max\{d_{1}(x,y)+d_{1}(y,z),\;d_{2}(x,y)+d_{2}(y,z)\}.
Agora uso uma desigualdade elementar: para quaisquer números não-negativos a,b,c,d vale
\max\{a+c,\;b+d\}\le \max\{a,b\}+\max\{c,d\}.
Aplicando com a=d_{1}(x,y),\;c=d_{1}(y,z),\;b=d_{2}(x,y),\;d=d_{2}(y,z) obtemos
\max\{d_{1}(x,y)+d_{1}(y,z),\,d_{2}(x,y)+d_{2}(y,z)\} \le \max\{d_{1}(x,y),d_{2}(x,y)\}+\max\{d_{1}(y,z),d_{2}(y,z)\}.
Mas o lado direito é exatamente d(x,y)+d(y,z). Compondo as desigualdades chegamos a
d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z).
Logo d satisfaz a desigualdade triangular.

Passo 5

Conclusão: d é uma métrica.
Juntando os resultados dos passos anteriores (não-negatividade, identidade dos indiscerníveis, simetria e desigualdade triangular), concluímos que
d(x,y)=\max\{d_{1}(x,y),d_{2}(x,y)\}
é uma métrica sobre M.
Agora precisamos mostrar que d é equivalente (topologicamente) a d_{1} e a d_{2}.

Passo 6

Definição usada de “métricas equivalentes” e estratégia prática.
  • Vou entender “métricas equivalentes” como: duas métricas geram a mesma topologia em M. Em termos práticos isto significa que a identidade
\operatorname{id}:(M,d_{1})\to (M,d_{2})
é um homeomorfismo (continuidade em ambas as direções), ou equivalentemente que, para todo x\in M, as bolas abertas em uma métrica podem ser obtidas a partir de bolas em outra métrica (precisamente, para cada x e cada raio existe um raio adequado na outra métrica que dá inclusão de bolas).
  • A estratégia: mostrar que as bolas abertas de d se relacionam de forma simples com as bolas de d_{1} e d_{2} e, usando a hipótese de equivalência entre d_{1} e d_{2}, deduzir que as topologias coincidem.

Passo 7

Fato útil sobre bolas na métrica \;d=\max\{d_{1},d_{2}\}.
Fixe x\in M e r>0. A bola aberta de raio r em torno de x relativa a d é
B_{d}(x,r)=\{y\in M \mid d(x,y)<r\}.
Pela definição de d,
d(x,y)<r \iff \max\{d_{1}(x,y),d_{2}(x,y)\}<r \iff d_{1}(x,y)<r \text{ e } d_{2}(x,y)<r.
Portanto obtemos a igualdade de conjuntos
B_{d}(x,r)=B_{d_{1}}(x,r)\cap B_{d_{2}}(x,r).
Disto seguem inclusões imediatas:
B_{d}(x,r)\subseteq B_{d_{1}}(x,r) \quad\text{e}\quad B_{d}(x,r)\subseteq B_{d_{2}}(x,r).
Isto mostra que a topologia gerada por d é mais forte (ou igual) que a interseção das topologias geradas por d_{1} e d_{2}. Mas queremos comparar d separadamente com d_{1} e d_{2}.

Passo 8

Mostrar que as topologias de d e d_{1} coincidem (o mesmo vale para d_{2} por simetria).
Queremos provar duas inclusões de famílias de abertos (ou continuidade das identidades):
  1. Cada bola B_{d}(x,r) contém uma bola de d_{1} centrada em x (ou, equivalente, a identidade \operatorname{id}:(M,d)\to(M,d_{1}) é contínua).
  2. Cada bola B_{d_{1}}(x,r) contém uma bola de d centrada em x (ou \operatorname{id}:(M,d_{1})\to(M,d) é contínua).
Já temos que B_{d}(x,r)\subseteq B_{d_{1}}(x,r), então \operatorname{id}:(M,d)\to(M,d_{1}) é contínua (pois pré-imagem de bola em d_{1} é aberta em d). Logo uma direção está feita.
Para a outra direção usamos a hipótese de equivalência entre d_{1} e d_{2}: como d_{1} e d_{2} geram a mesma topologia, a aplicação identidade
\operatorname{id}:(M,d_{1})\to (M,d_{2})
é contínua em cada ponto. Em termos de bolas, isto significa: fixado x e r>0, existe \delta>0 tal que
B_{d_{1}}(x,\delta)\subseteq B_{d_{2}}(x,r).
Agora escolhemos \delta'=\min\{\delta,r\}. Então, para todo y\in B_{d_{1}}(x,\delta') temos simultaneamente d_{1}(x,y)<\delta'\le r e d_{2}(x,y)<r (porque B_{d_{1}}(x,\delta')\subseteq B_{d_{2}}(x,r)). Portanto y\in B_{d_{1}}(x,r)\cap B_{d_{2}}(x,r)=B_{d}(x,r). Em resumo:
B_{d_{1}}(x,\delta')\subseteq B_{d}(x,r).
Isto mostra que para cada bola B_{d_{1}}(x,r) existe uma bola de d_{1} (com raio \delta') contida em B_{d}(x,r), ou equivalentemente que \operatorname{id}:(M,d_{1})\to(M,d) é contínua em x. Como x é arbitrário, temos continuidade global.
Portanto \operatorname{id} é contínua em ambas as direções entre (M,d) e (M,d_{1}), o que implica que d e d_{1} geram a mesma topologia (são equivalentes).

Passo 9

Conclusão final sobre equivalência com d_{2} e resumo.
A argumentação do passo anterior usa só a simetria entre d_{1} e d_{2} (ou seja, trocando os papéis de d_{1} e d_{2} o mesmo raciocínio vale), portanto obtemos também que d é equivalente a d_{2}.
Resumo: mostramos que d é métrica e que as bolas de d são interseção das bolas de d_{1} e d_{2}, e usando a equivalência d_{1}\sim d_{2} obtivemos que d tem a mesma topologia que d_{1} e d_{2}. Assim d é equivalente a ambas.

Resposta

d(x,y)=\max\{d_{1}(x,y),d_{2}(x,y)\} é uma métrica em M.
A métrica d é equivalente (topologicamente) a d_{1} e a d_{2}.

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