Mostre que não são equivalentes a métrica zero-um e a usual em
.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que a métrica zero-um e a métrica usual em
não são equivalentes.
Dados explícitos que temos:
Dados explícitos que temos:
- A métrica zero-um (também chamada métrica discreta) é dada por
se e se - A métrica usual em
é dada por
Pergunta precisa: provar que essas duas métricas não são equivalentes (ou seja, não geram a mesma topologia em).
Passo 2
Definição que vamos usar (explicada com calma): duas métricas são equivalentes no sentido topológico se elas geram exatamente os mesmos conjuntos abertos (ou equivalentemente as mesmas sequências convergentes). Vou usar as duas formas de argumentar: (A) mostrando um conjunto aberto numa métrica que não é aberto na outra; (B) comparando convergência de sequências. Primeiro preciso lembrar o que é bola aberta e conjunto aberto. Para uma métrica
, a bola aberta centrada em
de raio
é
Um conjunto
é aberto para a métrica
se para todo
existe
com
.
Passo 3
Estudo das bolas na métrica zero-um
. Fixe
e considere
Há dois casos importantes:
- Se
, então para qualquer temos , logo . Ao mesmo tempo , então
- Se
, então para todo temos , logo
Conclusão importante (intuitiva e formal): para qualquer ponto
existe raio
tal que
. Isso significa que todo conjunto singleton
é aberto na métrica
. Portanto a topologia induzida por
é a topologia discreta (todos os subconjuntos são abertos).
Passo 4
Estudo das bolas na métrica usual
. Fixe
e seja qualquer
. A bola aberta é
um intervalo aberto com mais de um ponto. Em particular, não existe
tal que
, porque todo intervalo aberto
contém outros pontos além de
. Logo, nenhum singleton
é um conjunto aberto na métrica usual.
Passo 5
Comparação topológica direta (a conclusão mais simples): vimos que na métrica zero-um cada singleton
é aberto, enquanto na métrica usual nenhum singleton é aberto. Portanto existe um conjunto (por exemplo
) que é aberto em
mas não é aberto em
. Isso já mostra que as topologias geradas por
e
são diferentes, ou seja, as métricas não são equivalentes (no sentido topológico).
Passo 6
Prova alternativa via sequências (útil para fixar a intuição): descrevo como convergem as sequências em cada métrica.
- Na métrica zero-um
uma sequência converge para se e somente se ela é eventualmente constante igual a . Prova curta: se em , escolha . Então existe tal que para todo vale , logo para todo . E recíproco óbvio: se para grande, então converge. - Na métrica usual
existem sequências que convergem para sem serem eventualmente constantes, por exemplo que converge para porque .
Como consequência, a sequência
converge para
em
mas não converge para
em
(pois não é eventualmente constante). Isso dá outra prova de que as métricas não são equivalentes, pois não têm as mesmas sequências convergentes.
Passo 7
Recapitulando e motivando para a prova na prova: a maneira mais direta e rápida na prova é apontar uma propriedade que difere entre as duas métricas — por exemplo, abertura de singletons ou comportamento de convergência de sequências. Ambas as formas são curtas e convincentes. Portanto, concluímos que as duas métricas não geram a mesma topologia em
.
Resposta
As métricas não são equivalentes; por exemplo, na métrica zero-um
é aberto (topologia discreta), enquanto na métrica usual nenhum singleton é aberto, logo as topologias são diferentes.