Mostre que não são equivalentes a métrica zero-um e a usual em \mathbb{R}.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que a métrica zero-um e a métrica usual em \mathbb{R} não são equivalentes.
Dados explícitos que temos:
  • A métrica zero-um (também chamada métrica discreta) é dada por \;d_0(x,y)=0 se \;x=y e \;d_0(x,y)=1 se \;x\neq y.
  • A métrica usual em \mathbb{R} é dada por \;d_u(x,y)=|x-y|.
    Pergunta precisa: provar que essas duas métricas não são equivalentes (ou seja, não geram a mesma topologia em \mathbb{R}).

Passo 2

Definição que vamos usar (explicada com calma): duas métricas são equivalentes no sentido topológico se elas geram exatamente os mesmos conjuntos abertos (ou equivalentemente as mesmas sequências convergentes). Vou usar as duas formas de argumentar: (A) mostrando um conjunto aberto numa métrica que não é aberto na outra; (B) comparando convergência de sequências. Primeiro preciso lembrar o que é bola aberta e conjunto aberto. Para uma métrica d, a bola aberta centrada em a de raio r>0 é
B_d(a,r)=\{x\in\mathbb{R}\mid d(x,a)<r\}.
Um conjunto U\subset\mathbb{R} é aberto para a métrica d se para todo a\in U existe r>0 com B_d(a,r)\subset U.

Passo 3

Estudo das bolas na métrica zero-um \;d_0. Fixe a\in\mathbb{R} e considere \;r>0. Há dois casos importantes:
  • Se 0<r\le 1, então para qualquer x\neq a temos d_0(x,a)=1\ge r, logo x\notin B_{d_0}(a,r). Ao mesmo tempo d_0(a,a)=0<r, então
B_{d_0}(a,r)=\{a\}\quad\text{quando }0<r\le 1.
  • Se r>1, então para todo x\in\mathbb{R} temos d_0(x,a)\in\{0,1\}<r, logo
B_{d_0}(a,r)=\mathbb{R}\quad\text{quando }r>1.
Conclusão importante (intuitiva e formal): para qualquer ponto a existe raio r\in(0,1) tal que B_{d_0}(a,r)=\{a\}. Isso significa que todo conjunto singleton \{a\} é aberto na métrica \;d_0. Portanto a topologia induzida por \;d_0 é a topologia discreta (todos os subconjuntos são abertos).

Passo 4

Estudo das bolas na métrica usual \;d_u(x,y)=|x-y|. Fixe a\in\mathbb{R} e seja qualquer r>0. A bola aberta é
B_{d_u}(a,r)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-a|<r\}=(a-r,a+r),
um intervalo aberto com mais de um ponto. Em particular, não existe r>0 tal que B_{d_u}(a,r)=\{a\}, porque todo intervalo aberto (a-r,a+r) contém outros pontos além de a. Logo, nenhum singleton \{a\} é um conjunto aberto na métrica usual.

Passo 5

Comparação topológica direta (a conclusão mais simples): vimos que na métrica zero-um cada singleton \{a\} é aberto, enquanto na métrica usual nenhum singleton é aberto. Portanto existe um conjunto (por exemplo \{0\}) que é aberto em \;d_0 mas não é aberto em \;d_u. Isso já mostra que as topologias geradas por \;d_0 e \;d_u são diferentes, ou seja, as métricas não são equivalentes (no sentido topológico).

Passo 6

Prova alternativa via sequências (útil para fixar a intuição): descrevo como convergem as sequências em cada métrica.
  • Na métrica zero-um \;d_0 uma sequência (x_n) converge para a se e somente se ela é eventualmente constante igual a a. Prova curta: se x_n\to a em \;d_0, escolha r=\tfrac12. Então existe N tal que para todo n\ge N vale x_n\in B_{d_0}(a,\tfrac12)=\{a\}, logo x_n=a para todo n\ge N. E recíproco óbvio: se x_n=a para n grande, então converge.
  • Na métrica usual \;d_u existem sequências que convergem para 0 sem serem eventualmente constantes, por exemplo x_n=\tfrac{1}{n} que converge para 0 porque |x_n-0|=\tfrac{1}{n}\to 0.
Como consequência, a sequência \;x_n=\tfrac{1}{n} converge para 0 em \;d_u mas não converge para 0 em \;d_0 (pois não é eventualmente constante). Isso dá outra prova de que as métricas não são equivalentes, pois não têm as mesmas sequências convergentes.

Passo 7

Recapitulando e motivando para a prova na prova: a maneira mais direta e rápida na prova é apontar uma propriedade que difere entre as duas métricas — por exemplo, abertura de singletons ou comportamento de convergência de sequências. Ambas as formas são curtas e convincentes. Portanto, concluímos que as duas métricas não geram a mesma topologia em \mathbb{R}.

Resposta

As métricas não são equivalentes; por exemplo, na métrica zero-um \{a\} é aberto (topologia discreta), enquanto na métrica usual nenhum singleton é aberto, logo as topologias são diferentes.

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