Seja d uma métrica sobre M. Sendo \alpha a métrica em M definida por \alpha(x, y)=\min \{1, d(x, y)\}, mostre que:
(a) Para todo \varepsilon \in \mathbb{R} tal que 0<\varepsilon \leq 1, B_{d}(p, \varepsilon)=B_{\alpha}(p, \varepsilon);
(b) d e \alpha são equivalentes.

Passo 1

O enunciado dá uma métrica d sobre um conjunto M e define outra função \alpha em M por
\alpha(x,y)=\min\{1,d(x,y)\}.
Pede-se duas coisas:
(a) Mostrar que, para todo \varepsilon\in\mathbb{R} tal que 0<\varepsilon\leq 1,
B_{d}(p,\varepsilon)=B_{\alpha}(p,\varepsilon).
(b) Mostrar que d e \alpha são equivalentes (ou seja, geram a mesma topologia em M).
Informações relevantes fornecidas:
  • d é uma métrica em M.
  • \alpha é dada por \alpha(x,y)=\min\{1,d(x,y)\}, logo 0\le \alpha(x,y)\le 1 para todos x,y.
  • A definição usual de bola aberta em uma métrica m é
B_{m}(p,r)=\{x\in M \mid m(x,p)<r\}.

Passo 2

Vamos lembrar conceitos que vamos usar (explicando com calma):
Definição de bola aberta: para uma métrica m em M e ponto p\in M, a bola aberta de raio r>0 centrada em p é
B_{m}(p,r)=\{x\in M \mid m(x,p)<r\}.
Isto significa: para verificar se x está em B_{m}(p,r) eu calculo m(x,p) e vejo se é menor que r.
Equivalência de métricas (topológica): duas métricas m_1 e m_2 em M são equivalentes se e somente se elas geram a mesma topologia, isto é, se para todo p\in M e todo r>0 existe s>0 tal que
B_{m_1}(p,s)\subset B_{m_2}(p,r)
e também existe t>0 tal que
B_{m_2}(p,t)\subset B_{m_1}(p,r).
Intuição prática: pequenas bolas em uma métrica contêm pequenas bolas na outra métrica, e vice-versa. Mostrar essas inclusões para cada ponto e cada raio prova que as métricas definem as mesmas aberturas.
Estratégia: primeiro provar (a) — igualdade de bolas para 0<\varepsilon\le 1. Depois usar (a) para construir as inclusões necessárias e concluir (b).

Passo 3

Prova de (a). Queremos mostrar que, para 0<\varepsilon\le 1,
B_{d}(p,\varepsilon)=B_{\alpha}(p,\varepsilon).
Faremos as duas inclusões.
  1. B_{d}(p,\varepsilon)\subset B_{\alpha}(p,\varepsilon).
Tome x\in B_{d}(p,\varepsilon). Então d(x,p)<\varepsilon. Como \varepsilon\le 1, temos d(x,p)<1. Pela definição de \alpha,
\alpha(x,p)=\min\{1,d(x,p)\}=d(x,p).
Logo \alpha(x,p)=d(x,p)<\varepsilon, o que mostra x\in B_{\alpha}(p,\varepsilon). Assim B_{d}(p,\varepsilon)\subset B_{\alpha}(p,\varepsilon).
  1. B_{\alpha}(p,\varepsilon)\subset B_{d}(p,\varepsilon).
Tome x\in B_{\alpha}(p,\varepsilon). Então \alpha(x,p)<\varepsilon. Pela definição de \alpha, \alpha(x,p)\le 1. Como \varepsilon\le 1, a desigualdade \alpha(x,p)<\varepsilon garante que \alpha(x,p)<1. Mas se \alpha(x,p)<1 então necessariamente \alpha(x,p)=d(x,p) (porque o mínimo entre 1 e d(x,p) só é menor que 1 quando é d(x,p)). Assim d(x,p)=\alpha(x,p)<\varepsilon, logo x\in B_{d}(p,\varepsilon). Portanto B_{\alpha}(p,\varepsilon)\subset B_{d}(p,\varepsilon).
Com as duas inclusões concluímos B_{d}(p,\varepsilon)=B_{\alpha}(p,\varepsilon) para todo 0<\varepsilon\le 1. Isso prova (a).

Passo 4

Comentário intuitivo (para fixar): a função \alpha coincide com d para todas as distâncias menores que 1. Só “corta” (limita) distâncias maiores que 1 para o valor 1. Por isso, se o raio \varepsilon é no máximo 1, a bola de raio \varepsilon usando \alpha vê exatamente as mesmas distâncias que a bola usando d, daí a igualdade.

Passo 5

Prova de (b): mostrar que d e \alpha são equivalentes (mesma topologia).
Usaremos o critério de inclusões de bolas: para cada p\in M e cada \varepsilon>0 queremos encontrar \delta>0 tal que B_{d}(p,\delta)\subset B_{\alpha}(p,\varepsilon) e também \delta'>0 tal que B_{\alpha}(p,\delta')\subset B_{d}(p,\varepsilon). Se fizermos isso para todo p e \varepsilon, as métricas são equivalentes.
Primeira inclusão (continuidade da identidade \mathrm{id}:(M,d)\to(M,\alpha)): dado p\in M e \varepsilon>0, escolhemos \delta assim:
  • Se \varepsilon\le 1, pela Parte (a) temos B_{d}(p,\varepsilon)=B_{\alpha}(p,\varepsilon). Portanto basta tomar \delta=\varepsilon, pois então
B_{d}(p,\delta)=B_{d}(p,\varepsilon)=B_{\alpha}(p,\varepsilon),
logo B_{d}(p,\delta)\subset B_{\alpha}(p,\varepsilon).
  • Se \varepsilon>1, observe que \alpha(x,p)\le 1 para todo x. Assim B_{\alpha}(p,\varepsilon)=M (qualquer ponto tem \alpha(x,p)\le 1<\varepsilon), então qualquer \delta>0 serve; por simplicidade tome \delta=1. Assim B_{d}(p,\delta)\subset M=B_{\alpha}(p,\varepsilon).
Logo em ambos os casos existe \delta>0 com B_{d}(p,\delta)\subset B_{\alpha}(p,\varepsilon). Isso mostra que a identidade \mathrm{id}:(M,d)\to(M,\alpha) é contínua.
Segunda inclusão (continuidade da identidade inversa \mathrm{id}:(M,\alpha)\to(M,d)): dado p\in M e \varepsilon>0, escolhemos \delta' assim:
  • Se \varepsilon\le 1, pela Parte (a) B_{\alpha}(p,\varepsilon)=B_{d}(p,\varepsilon). Então tomar \delta'=\varepsilon
B_{\alpha}(p,\delta')=B_{d}(p,\varepsilon)\subset B_{d}(p,\varepsilon),
ou seja B_{\alpha}(p,\delta')\subset B_{d}(p,\varepsilon).
  • Se \varepsilon>1, tome \delta'=1. Então, pela Parte (a) (com raio 1) temos B_{\alpha}(p,1)=B_{d}(p,1). Como 1<\varepsilon, temos B_{d}(p,1)\subset B_{d}(p,\varepsilon). Portanto
B_{\alpha}(p,\delta')=B_{\alpha}(p,1)=B_{d}(p,1)\subset B_{d}(p,\varepsilon).
Assim em ambos os casos existe \delta'>0 tal que B_{\alpha}(p,\delta')\subset B_{d}(p,\varepsilon). Isso mostra que a identidade inversa é contínua.
Ter ambas identidades contínuas significa que a aplicação identidade entre os dois espaços métricos é um homeomorfismo; portanto d e \alpha geram a mesma topologia, isto é, são métricas equivalentes.

Resposta

(a) B_{d}(p,\varepsilon)=B_{\alpha}(p,\varepsilon) para todo 0<\varepsilon\le 1.\n
(b) As métricas d e \alpha são equivalentes (geram a mesma topologia).

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