Seja
uma métrica sobre
. Sendo
a métrica em
definida por
, mostre que:
(a) Para todo
tal que
;
(b)
e
são equivalentes.
(a) Para todo
(b)
Passo 1
O enunciado dá uma métrica
sobre um conjunto
e define outra função
em
por
Pede-se duas coisas:
(a) Mostrar que, para todo
tal que
,
(b) Mostrar que
e
são equivalentes (ou seja, geram a mesma topologia em
).
Informações relevantes fornecidas:
-
é uma métrica em . -
é dada por , logo para todos . - A definição usual de bola aberta em uma métrica
é
Passo 2
Vamos lembrar conceitos que vamos usar (explicando com calma):
Definição de bola aberta: para uma métrica
em
e ponto
, a bola aberta de raio
centrada em
é
Isto significa: para verificar se
está em
eu calculo
e vejo se é menor que
.
Equivalência de métricas (topológica): duas métricas
e
em
são equivalentes se e somente se elas geram a mesma topologia, isto é, se para todo
e todo
existe
tal que
e também existe
tal que
Intuição prática: pequenas bolas em uma métrica contêm pequenas bolas na outra métrica, e vice-versa. Mostrar essas inclusões para cada ponto e cada raio prova que as métricas definem as mesmas aberturas.
Estratégia: primeiro provar (a) — igualdade de bolas para
. Depois usar (a) para construir as inclusões necessárias e concluir (b).
Passo 3
Prova de (a). Queremos mostrar que, para
,
Faremos as duas inclusões.
-
.
Tome
. Então
. Como
, temos
. Pela definição de
,
Logo
, o que mostra
. Assim
.
-
.
Tome
. Então
. Pela definição de
,
. Como
, a desigualdade
garante que
. Mas se
então necessariamente
(porque o mínimo entre
e
só é menor que
quando é
). Assim
, logo
. Portanto
.
Com as duas inclusões concluímos
para todo
. Isso prova (a).
Passo 4
Comentário intuitivo (para fixar): a função
coincide com
para todas as distâncias menores que
. Só “corta” (limita) distâncias maiores que
para o valor
. Por isso, se o raio
é no máximo
, a bola de raio
usando
vê exatamente as mesmas distâncias que a bola usando
, daí a igualdade.
Passo 5
Prova de (b): mostrar que
e
são equivalentes (mesma topologia).
Usaremos o critério de inclusões de bolas: para cada
e cada
queremos encontrar
tal que
e também
tal que
. Se fizermos isso para todo
e
, as métricas são equivalentes.
Primeira inclusão (continuidade da identidade
): dado
e
, escolhemos
assim:
- Se
, pela Parte (a) temos . Portanto basta tomar , pois então
logo
.
- Se
, observe que para todo . Assim (qualquer ponto tem ), então qualquer serve; por simplicidade tome . Assim .
Logo em ambos os casos existe
com
. Isso mostra que a identidade
é contínua.
Segunda inclusão (continuidade da identidade inversa
): dado
e
, escolhemos
assim:
- Se
, pela Parte (a) . Então tomar dá
ou seja
.
- Se
, tome . Então, pela Parte (a) (com raio ) temos . Como , temos . Portanto
Assim em ambos os casos existe
tal que
. Isso mostra que a identidade inversa é contínua.
Ter ambas identidades contínuas significa que a aplicação identidade entre os dois espaços métricos é um homeomorfismo; portanto
e
geram a mesma topologia, isto é, são métricas equivalentes.
Resposta
(a)
para todo
.\n
(b) As métricas e
são equivalentes (geram a mesma topologia).
(b) As métricas