d sd t=12 t(3 t^2-1)^3, s(1)=3

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
dsdt = 12,t,(3t^2 - 1)^3, s(1)=3
O conteúdo aqui é integrar em t para encontrar s(t).

Passo 2

Escrevemos a solução geral como integral
s(t) = integral 12,t,(3t^2 - 1)^3,dt + C

Passo 3

Para facilitar a integral, usamos a substituição
u = 3t^2 - 1Longrightarrow du = 6t,dtLongrightarrow t,dt = du6
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integral 12,t,(3t^2 - 1)^3,dt = integral 12,u^3cdotdu6 = integral 2,u^3,du

Passo 4

Integramos em u:
integral 2,u^3,du = 2cdotu^44 = u^42
Voltando a t, obtemos
s(t) = (3t^2 - 1)^42 + C

Passo 5

Usamos a condição inicial s(1)=3:
(3cdot1^2 - 1)^42 + C = 3 Longrightarrow 2^42 + C = 3 Longrightarrow 8 + C = 3 Longrightarrow C = -5

Resposta

s(t) = (3t^2 - 1)^42 - 5

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