O enunciado pede para estudar a diferenciabilidade da função
O conteúdo principal é diferenciabilidade de funções em partes (funções definidas por trechos) e uso de limite direcional para verificar existência de diferencial linear.
Passo 2
Note que
Assim, fora da linha de fronteira |x|=|y|, f coincide localmente com |x| ou |y|.
Passo 3
Se , num pequeno entorno de continuamos com . Como a função é diferenciável sempre que , e aqui (pois força ), segue que é diferenciável em todo com . O gradiente é
Passo 4
Análogo, se , num entorno de temos , que é diferenciável sempre que . Aqui implica . Logo é diferenciável em todo com , e
Passo 5
Resta estudar a fronteira (x,y):|x|=|y|. Por exemplo, em (a,a) com a>0, a derivada direcional na direção (1,-1) é
Para h>0 vem maxa+h,a-h=a+h e a razão vale 1, mas para h<0 vale -1. Como o limite não existe, não há diferencial linear em (a,a). O mesmo raciocínio vale em toda a reta |x|=|y|, incluindo a origem (0,0).
Resposta
A função
Não é diferenciável nos pontos em que (\lvert x\rvert=\lvert y\rvert].