Estude a diferenciabilidade de f: R^2 R :
f(x, y)=sup |x|,|y|.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a diferenciabilidade da função
fcolon R^2toR, f(x,y)=sup|x|,|y|
O conteúdo principal é diferenciabilidade de funções em partes (funções definidas por trechos) e uso de limite direcional para verificar existência de diferencial linear.

Passo 2

Note que
f(x,y)= |x|, & se |x|>|y|, |y|, & se |y|>|x|, |x|=|y|, & caso de fronteira
Assim, fora da linha de fronteira |x|=|y|, f coincide localmente com |x| ou |y|.

Passo 3

Se , num pequeno entorno de continuamos com . Como a função é diferenciável sempre que , e aqui (pois força ), segue que é diferenciável em todo com . O gradiente é

Passo 4

Análogo, se , num entorno de temos , que é diferenciável sempre que . Aqui implica . Logo é diferenciável em todo com , e

Passo 5

Resta estudar a fronteira (x,y):|x|=|y|. Por exemplo, em (a,a) com a>0, a derivada direcional na direção (1,-1) é
limhto0f(a+h,a-h)-f(a,a)h =limhto0max|a+h|,|a-h|-ah
Para h>0 vem maxa+h,a-h=a+h e a razão vale 1, mas para h<0 vale -1. Como o limite não existe, não há diferencial linear em (a,a). O mesmo raciocínio vale em toda a reta |x|=|y|, incluindo a origem (0,0).

Resposta

A função
Não é diferenciável nos pontos em que (\lvert x\rvert=\lvert y\rvert].

Exercícios relacionados