Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais:
(d) 4 y^prime prime-8 y^prime+3 y=0

Passo 1

Estamos diante de uma equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes
4,y'' - 8,y' + 3,y = 0
para a qual vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico associado trocando y por e^r x, y' por r e^r x e y'' por r^2 e^r x. Isso nos dá
4,r^2 - 8,r + 3 = 0

Passo 3

Calculamos as raízes desse polinômio usando a fórmula de Bhaskara. Aqui,
De<a = (-8)^2 - 4cdot4cdot3 = 64 - 48 = 16,
r = 8 pm raiz162cdot4 = 8 pm 48
Logo as raízes são
r1 = 8+48 = 128 = tfrac32, r2 = 8-48 = 48 = tfrac12

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C1,e^r1 x + C2,e^r2 x = C1,e^tfrac32 x + C2,e^tfrac12 x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1,e^tfrac32 x + C2,e^tfrac12 x

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