Determine o intervalo de convergência e o raio de cada série de potência abaixo:
sumn=0^infty x^nn^2+4

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
sumn=0^inftyx^nn^2+4
Queremos determinar o raio de convergência R e o intervalo de convergência. Para isso, vamos usar o Teste da raiz (ou, alternativamente, o Teste da razão) e depois verificar o comportamento nos extremos x=pm1.

Passo 2

Aplicando o Teste da raiz, calculamos
limntoinftyraiz[n]|x^nn^2+4| =limntoinfty|x|(n^2+4)^1/n =|x|cdotlimntoinfty(n^2+4)^-1/n =|x|cdot1 =|x|
Pelo teste, a série converge se |x|<1 e diverge se |x|>1. Logo, o raio de convergência é
R = 1

Passo 3

Agora verificamos o comportamento nos extremos:
  1. Para x=1 a série fica
    sumn=0^infty1n^2+4
    Como 1n^2+4<=1n^2 e a série sum1/n^2 converge, pela comparação absoluta obtemos convergência em x=1.
  2. Para x=-1 a série fica
    sumn=0^infty(-1)^nn^2+4
    Novamente l|tfrac(-1)^nn^2+4r|=tfrac1n^2+4<=tfrac1n^2, de modo que ela também converge absolutamente em x=-1.

Resposta

O raio de convergência é R=1, e o intervalo de convergência é
[-1,,1]

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