Determine o intervalo de convergência e o raio de cada série de potência abaixo:
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências
Queremos determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência. Para isso, vamos usar o Teste da raiz (ou, alternativamente, o Teste da razão) e depois verificar o comportamento nos extremos .
Passo 2
Aplicando o Teste da raiz, calculamos
Pelo teste, a série converge se |x|<1 e diverge se |x|>1. Logo, o raio de convergência é
R = 1
Passo 3
Agora verificamos o comportamento nos extremos:
Para x=1 a série fica
sumn=0^infty1n^2+4
Como 1n^2+4<=1n^2 e a série sum1/n^2 converge, pela comparação absoluta obtemos convergência em x=1.
Para x=-1 a série fica
sumn=0^infty(-1)^nn^2+4
Novamente l|tfrac(-1)^nn^2+4r|=tfrac1n^2+4<=tfrac1n^2, de modo que ela também converge absolutamente em x=-1.
Resposta
O raio de convergência é R=1, e o intervalo de convergência é