d Td t cdot T=0
Dica: derive T(t) cdot T(t)=1.

Passo 1

A questão diz que a derivada de um vetor unitário $\mathbf{T}(t)$ satisfaz $\mathbf{T}(t)\cdot\mathbf{T}(t)=1$ e pede para mostrar que $\frac{d\mathbf{T}}{dt}\cdot\mathbf{T}=0$. O conteúdo aqui é derivada de produto escalar e uso da regra do produto, além da propriedade de que a derivada de uma constante é zero.

Passo 2

Para começar, a gente aplica a derivada em ambos os lados de ddtl(T(t)cdotT(t)r) =dTdtcdotT(t) +T(t)cdotdTdt =2,T(t)cdotdTdt . Pela regra do produto escalar, temos:
$$
\frac{d}{dt}\bigl(\mathbf{T}(t)\cdot\mathbf{T}(t)\bigr)
=\frac{d\mathbf{T}}{dt}\cdot\mathbf{T}(t)
+\mathbf{T}(t)\cdot\frac{d\mathbf{T}}{dt}
=2,\mathbf{T}(t)\cdot\frac{d\mathbf{T}}{dt}
$$

Passo 3

Como o lado direito é a derivada de uma constante (1), isso vale zero. Logo:
$$
2,\mathbf{T}(t)\cdot\frac{d\mathbf{T}}{dt}=0
$$
Dividindo por 2, fica:
$$
\mathbf{T}(t)\cdot\frac{d\mathbf{T}}{dt}=0
$$

Passo 4

Isso mostra exatamente que $\frac{d\mathbf{T}}{dt}$ é perpendicular a $\mathbf{T}$, ou seja, $\frac{d\mathbf{T}}{dt}\cdot\mathbf{T}=0$.

Resposta

dTdtcdotT=0

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