d yd x=-partial G / partial xpartial G / partial y,
se partial G / partial y neq 0. Aplique o resultado anterior ao seguinte exemplo, G(q, p)=H(q, p)- E=0, onde H(q, p)=p^2 / 2 m+kappa q^2 / 2. Encontre p(q) e d p / d q.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar a fórmula de derivada implícita dydx=-partial G/partial xpartial G/partial y ao caso em que G(q,p)=H(q,p)-E=0, sendo H(q,p)=p^22m+kappa q^22. O objetivo é achar a função p(q) e em seguida dpdq.

Passo 2

Começamos impondo a condição G(q,p)=0:
p^22m+kappa q^22-E=0
Multiplicando por 2m e isolando p^2, temos:
p^2=2mE-mkappa q^2
Logo,
p(q)=pmraiz2mE-mkappa q^2

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de G(q,p)=p^22m+kappa q^22-E:
partial Gpartial q=kappa q, partial Gpartial p=pm

Passo 4

Aplicando a fórmula de derivada implícita para p em função de q:
dpdq=-partial G/partial qpartial G/partial p=-kappa qtfracpm=-mkappa qp
Podemos, se quisermos, substituir p(q) nessa expressão para escrever explicitamente em termos de q:
dpdq=mpmkappa qraiz2mE-mkappa q^2

Resposta

As soluções são
p(q)=pmraiz2mE-mkappa q^2,
e
dpdq=-mkappa qp(q)=mpmkappa qraiz2mE-mkappa q^2

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