- Se
é máxima no ponto
na direção
, qual o valor de
em relação a
?
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação e pede uma relação entre derivadas parciais:
- Informação dada: o derivado direcional
é máximo no ponto na direção . - Pergunta: qual o valor de
em relação a ?
Passo 2
Lembrando a definição útil (aulas rápidas de teoria):
- O derivado direcional de
no ponto na direção de um vetor unitário é dado por
onde
é o gradiente de
em
.
- Observação importante: essa fórmula usa
unitário. O vetor deve ser normalizado para virar um vetor unitário.
Passo 3
Normalizando a direção fornecida:
- O vetor
tem norma . - O vetor unitário correspondente é
Passo 4
Entendendo quando o derivado direcional é máximo:
- Pelo produto escalar, para um vetor unitário
vale
onde
é o ângulo entre
e
.
- Esse valor é máximo quando
, isto é, quando tem a mesma direção de . Portanto, se o derivado direcional é máximo na direção , o gradiente em deve ser paralelo a .
Passo 5
Conseqüência direta para as componentes do gradiente:
- Se
é paralelo a , existe tal que
- Escrevendo em componentes:
- Daí segue imediatamente que
Passo 6
Comentário sobre o caso degenerado e exemplo:
- Caso
(ou seja, ), o derivado direcional é zero em todas as direções, e ainda assim vale , mantendo a igualdade. - Exemplo simples para fixar a ideia: para
tem-se , logo e a direção é exatamente a direção de máximo crescimento.