1. Se D_{u} f é máxima no ponto (2,2) na direção \langle 1,1\rangle, qual o valor de f_{x}(2,2) em relação a f_{y}(2,2) ?

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e pede uma relação entre derivadas parciais:
  • Informação dada: o derivado direcional D_{u}f é máximo no ponto (2,2) na direção \langle 1,1\rangle.
  • Pergunta: qual o valor de f_{x}(2,2) em relação a f_{y}(2,2)?

Passo 2

Lembrando a definição útil (aulas rápidas de teoria):
  • O derivado direcional de f no ponto (2,2) na direção de um vetor unitário u é dado por
D_{u}f(2,2)=\nabla f(2,2)\cdot u,
onde \nabla f(2,2)=\langle f_x(2,2),\,f_y(2,2)\rangle é o gradiente de f em (2,2).
  • Observação importante: essa fórmula usa u unitário. O vetor \langle 1,1\rangle deve ser normalizado para virar um vetor unitário.

Passo 3

Normalizando a direção fornecida:
  • O vetor \langle 1,1\rangle tem norma \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.
  • O vetor unitário correspondente é
u=\frac{1}{\sqrt{2}}\langle 1,1\rangle=\left\langle \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right\rangle.

Passo 4

Entendendo quando o derivado direcional é máximo:
  • Pelo produto escalar, para um vetor unitário u vale
\nabla f(2,2)\cdot u = \|\nabla f(2,2)\|\,\|u\|\cos\theta = \|\nabla f(2,2)\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \nabla f(2,2) e u.
  • Esse valor é máximo quando \cos\theta=1, isto é, quando u tem a mesma direção de \nabla f(2,2). Portanto, se o derivado direcional é máximo na direção u, o gradiente em (2,2) deve ser paralelo a u.

Passo 5

Conseqüência direta para as componentes do gradiente:
  • Se \nabla f(2,2) é paralelo a u=\left\langle \tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right\rangle, existe \lambda\in\mathbb{R} tal que
\nabla f(2,2)=\lambda \left\langle \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right\rangle.
  • Escrevendo em componentes:
\langle f_x(2,2),\,f_y(2,2)\rangle=\left\langle \frac{\lambda}{\sqrt{2}},\,\frac{\lambda}{\sqrt{2}}\right\rangle.
  • Daí segue imediatamente que
f_x(2,2)=f_y(2,2).

Passo 6

Comentário sobre o caso degenerado e exemplo:
  • Caso \lambda=0 (ou seja, \nabla f(2,2)=\langle 0,0\rangle), o derivado direcional é zero em todas as direções, e ainda assim vale f_x(2,2)=f_y(2,2)=0, mantendo a igualdade.
  • Exemplo simples para fixar a ideia: para f(x,y)=x+y tem-se \nabla f=\langle 1,1\rangle, logo f_x=f_y e a direção \langle 1,1\rangle é exatamente a direção de máximo crescimento.

Resposta

f_x(2,2)=f_y(2,2)

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