d x1=d y2 x=d zx^2+y

Passo 1

O enunciado pede para integrar o sistema em forma simétrica dx1=dy2x=dzx^2+y. Esse tipo de sistema a gente resolve encontrando duas integrais de primeira ordem (duas funções que permanecem constantes ao longo da solução).

Passo 2

Para separar as variáveis, introduzimos um parâmetro t tal que dxdt=1. Isso faz com que x=t+C0. Para simplificar, podemos escolher t=x, absorvendo C0 em constantes posteriores.

Passo 3

Agora, da relação dydt=2x e dxdt=1 segue que dydx=2x. Integrando, obtemos:
y = x^2 + C1
Aqui aparece a primeira constante de integração C1.

Passo 4

De modo similar, de dzdt=x^2+y e dxdt=1 tiramos dzdx=x^2+y. Substituindo y=x^2+C1, fica dzdx=2x^2 + C1. Integrando, obtemos:
z = 23x^3 + C1,x + C2
Surge aí a segunda constante C2.

Passo 5

Como resultado, as duas integrais primeiras do sistema (ou invariantes) são obtidas eliminando as constantes:
Phi1 = y - x^2,
Phi2 = z - x,y + tfrac13x^3
Cada Phii é constante ao longo das curvas solução.

Resposta

As integrais primeiras são
y - x^2 = C1,
z - x,y + tfrac13x^3 = C2

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