Resolver los siguientes ejercicios por el método de separación de variables:
3 e^x tan y d x+(2-e^x) sec ^2 y d y=0
(Rta. (2-e^x)^3=C tan y )

Passo 1

Primero identificamos que la ecuación
3e^xtan y,dx + (2 - e^x)sec^2 y,dy = 0
es una ecuación de primer orden que admite separación de variables, pues podemos agrupar términos según dependan solo de x y solo de y.

Passo 2

Reescribimos en forma separable dividiendo por (2 - e^x)tan y (asumiendo que no anula variables):
3e^x2 - e^x,dx + sec^2 ytan y,dy = 0
entonces
sec^2 ytan y,dy = -3e^x2 - e^x,dx.

Passo 3

Observamos que la derivada de tan y es d(tan y)=sec^2 y,dy, así que el lado izquierdo se integra como
integralsec^2 ytan y,dy = integrald(tan y)tan y = lnl|tan yr| + C1

Passo 4

Para el lado derecho usamos la sustitución u = 2 - e^x, de donde du = -e^x,dx. Luego
-integral3e^x2 - e^x,dx = 3integralduu = 3ln|u| + C2 = 3ln|2 - e^x| + C2

Passo 5

Igualamos ambas integrales (absorbiendo constantes en una sola C):
ln|tan y| = 3ln|2 - e^x| + C
y aplicamos exponencial en ambos lados: |tan y| = e^C,|2 - e^x|^3 = C' (2 - e^x)^3.

Passo 6

Finalmente, renombrando la constante arbitraria C' como C y quitando valor absoluto (absorbiendo signo en C), obtenemos la solución general implícita
(2 - e^x)^3 = C,tan y

Resposta

(2 - ex)3 = C \tan y

Exercícios relacionados