Encontre a expressão geral das séries de potencia a seguir e determine o intervalo (se houver) no quais os valores de x convergem, diverge, não esqueça de estudar os extremos do intervalo.
1+(x-5)^2+12(x-5)^4+16(x-5)^6+124(x-5)^8+cdots

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a expressão geral da série de potências centrada em 5 e determinar seu intervalo de convergência, estudando também os extremos (se houver). Vamos precisar reconhecer padrões de coeficientes, usar definição de série de potências e aplicar o teste da razão ou conhecer a expansão de Taylor de funções elementares.

Passo 2

Observando os termos 1, (x−5)², tfrac12(x−5)⁴, tfrac16(x−5)⁶, tfrac124(x−5)⁸, vemos que os coeficientes são 1,1,tfrac12,tfrac16,tfrac124,, isto é, 1/n!, e que os expoentes são 0,2,4,6,8,dots,2n. Podemos, então, escrever a série na forma
sumn=0^infty (x-5)^2nn!,
onde o termo geral é an = (x-5)^2n/n!.

Passo 3

Reconhecendo que para qualquer y vale
sumn=0^infty y^nn! = e^y,
basta fazer y = (x-5)^2. Logo, a soma da série é
e^(x-5)^2

Passo 4

Para o intervalo de convergência, aplicamos o teste da razão:
|an+1an| = |(x-5)^2(n+1)/(n+1)!(x-5)^2n/n!| = (x-5)^2n+1 to 0 (ntoinfty),
o que indica raio de convergência infinito. Portanto, a série converge para todo xinR e não há extremos de intervalo a verificar.

Resposta

A série pode ser escrita como
sumn=0^infty (x-5)^2nn! = e^(x-5)^2,
que converge para todo xin(-infty,infty).

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