Encontre a expressão geral das séries de potencia a seguir e determine o intervalo (se houver) no quais os valores de convergem, diverge, não esqueça de estudar os extremos do intervalo.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a expressão geral da série de potências centrada em 5 e determinar seu intervalo de convergência, estudando também os extremos (se houver). Vamos precisar reconhecer padrões de coeficientes, usar definição de série de potências e aplicar o teste da razão ou conhecer a expansão de Taylor de funções elementares.
Passo 2
Observando os termos 1, (x−5)², , , , vemos que os coeficientes são , isto é, , e que os expoentes são . Podemos, então, escrever a série na forma
onde o termo geral é .
Passo 3
Reconhecendo que para qualquer vale
basta fazer . Logo, a soma da série é
Passo 4
Para o intervalo de convergência, aplicamos o teste da razão:
o que indica raio de convergência infinito. Portanto, a série converge para todo xinR e não há extremos de intervalo a verificar.