d x3 y-2 z=d yz-3 x=d z2 x-y

Passo 1

Então, galera, a gente tem essa equação diferencial aqui:
dx3y - 2z = dyz - 3x = dz2x - y
Essa é uma equação que relaciona as variações de $ x $, $ y $ e $ z $. A matéria que vamos usar para resolver isso é de sistemas de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar relações entre essas variáveis que nos permitam integrar e achar expressões para $ x $, $ y $ e $ z $.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar as duas primeiras frações para criar uma equação envolvendo $ dx $ e $ dy $:
dx
Agora, vamos multiplicar em cruz para eliminar as frações:
dy

Passo 3

Vamos reorganizar essa equação para agrupar os termos com $ x $ e $ y $:
x
Isso nos dá uma equação diferencial que podemos tentar integrar diretamente.

Passo 4

Observando a equação, notamos que ela não é exata diretamente. Para facilitar, precisamos encontrar uma função potencial $ \Phi(x, y, z) $ tal que:
Phi(x, y, z)
e
partial Phipartial x = z - 3x

Passo 5

Vamos integrar $ \frac{\partial \Phi}{\partial x} = z - 3x $ em relação a $ x $:
partial Phipartial x = z - 3x
Aqui, $ h(y, z) $ é uma função arbitrária pois ao integrar em relação a $ x $, a constante de integração pode depender de $ y $ e $ z $.

Passo 6

Agora, vamos derivar $ \Phi(x, y, z) $ em relação a $ y $ e igualar a $ \frac{\partial \Phi}{\partial y} $:
Phi(x, y, z)
Então,
y

Passo 7

Vamos integrar $ \frac{\partial h}{\partial y} = -3y + 2z $ em relação a $ y $:
partial hpartial y = -3y + 2z
Aqui, $ g(z) $ é uma função arbitrária de $ z $.

Passo 8

Substituindo $ h(y, z) $ de volta na expressão de $ \Phi(x, y, z) $:
h(y, z)
Para que a equação seja exata, a derivada em relação a $ z $ deve coincidir com a terceira parte da equação original. Calculamos:
Phi(x, y, z)
E sabemos que isso deve ser igual a:
Phi(x, y, z) = z x - 32 x^2 - 32 y^2 + 2z y + g(z)
Então,
z

Passo 9

Resolvendo para $ g’(z) $:
g'(z)
Mas $ g’(z) $ depende apenas de $ z $, então a única maneira disso acontecer é se $ x - 3y = 0 $. Portanto, temos uma relação adicional:
g'(z) = 2x - y - x - 2 y = x - 3y

Passo 10

Agora, sabendo que $ x = 3y $, podemos substituir esse valor na expressão original e resolver para $ z $ em termos de $ y $:
Usando $ x = 3y $ na equação $ \frac{dz}{2x - y} $:
x = 3y
Isso simplifica para:
z

Passo 11

Vamos multiplicar cruzado novamente:
(z - 9y) dz = 5y dy
Agora, integramos ambos os lados:
integral (z - 9y) dz = integral 5y dy
Isso resulta em:
12 z^2 - 9y z = 52 y^2 + C

Passo 12

Agora, organizando a equação para isolar $ z $:
z
Podemos reescrever $ 2C $ como apenas $ C $, já que é uma constante arbitrária.

Passo 13

Finalmente, temos uma relação entre $ y $ e $ z $:
y
E lembrando que já temos $ x = 3y $, podemos expressar todas as variáveis em termos de $ y $.

Resposta

A solução do sistema é dada por:
x = 3y
e
z^2 - 18y z - 5y^2 = C
onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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