Passo 1
Então, galera, a gente tem essa equação diferencial aqui:
Essa é uma equação que relaciona as variações de $ x $, $ y $ e $ z $. A matéria que vamos usar para resolver isso é de sistemas de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar relações entre essas variáveis que nos permitam integrar e achar expressões para $ x $, $ y $ e $ z $.
Passo 2
Primeiro, vamos igualar as duas primeiras frações para criar uma equação envolvendo $ dx $ e $ dy $:
Agora, vamos multiplicar em cruz para eliminar as frações:
Passo 3
Vamos reorganizar essa equação para agrupar os termos com $ x $ e $ y $:
Isso nos dá uma equação diferencial que podemos tentar integrar diretamente.
Passo 4
Observando a equação, notamos que ela não é exata diretamente. Para facilitar, precisamos encontrar uma função potencial $ \Phi(x, y, z) $ tal que:
e
Passo 5
Vamos integrar $ \frac{\partial \Phi}{\partial x} = z - 3x $ em relação a $ x $:
Aqui, $ h(y, z) $ é uma função arbitrária pois ao integrar em relação a $ x $, a constante de integração pode depender de $ y $ e $ z $.
Passo 6
Agora, vamos derivar $ \Phi(x, y, z) $ em relação a $ y $ e igualar a $ \frac{\partial \Phi}{\partial y} $:
Então,
Passo 7
Vamos integrar $ \frac{\partial h}{\partial y} = -3y + 2z $ em relação a $ y $:
Aqui, $ g(z) $ é uma função arbitrária de $ z $.
Passo 8
Substituindo $ h(y, z) $ de volta na expressão de $ \Phi(x, y, z) $:
Para que a equação seja exata, a derivada em relação a $ z $ deve coincidir com a terceira parte da equação original. Calculamos:
E sabemos que isso deve ser igual a:
Então,
Passo 9
Resolvendo para $ g’(z) $:
Mas $ g’(z) $ depende apenas de $ z $, então a única maneira disso acontecer é se $ x - 3y = 0 $. Portanto, temos uma relação adicional:
Passo 10
Agora, sabendo que $ x = 3y $, podemos substituir esse valor na expressão original e resolver para $ z $ em termos de $ y $:
Usando $ x = 3y $ na equação $ \frac{dz}{2x - y} $:
Isso simplifica para:
Passo 11
Vamos multiplicar cruzado novamente:
Agora, integramos ambos os lados:
Isso resulta em:
Passo 12
Agora, organizando a equação para isolar $ z $:
Podemos reescrever $ 2C $ como apenas $ C $, já que é uma constante arbitrária.
Passo 13
Finalmente, temos uma relação entre $ y $ e $ z $:
E lembrando que já temos $ x = 3y $, podemos expressar todas as variáveis em termos de $ y $.
Resposta
A solução do sistema é dada por:
e
onde $ C $ é uma constante arbitrária.