Como feito em aula, pelo método de variáveis separáveis, resolver
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação da onda, que é um tipo de equação diferencial parcial, e vamos usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução. Precisamos entender um pouco de equações diferenciais, métodos de separação de variáveis e condições de contorno e iniciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Essa é a equação da onda, onde $ u(x, t) $ representa a posição da onda no ponto $ x $ e no tempo $ t $, e $ a $ é a velocidade da onda. As subscrito $ t $ e $ x $ indicam derivadas parciais em relação ao tempo e ao espaço, respectivamente.
Passo 3
O método de separação de variáveis assume que a solução $ u(x, t) $ pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de $ x $ e outra que depende só de $ t $:
Passo 4
Vamos substituir $ u(x, t) = X(x) T(t) $ na equação da onda:
Aqui, $ T’’(t) $ é a segunda derivada de $ T $ em relação ao tempo, e $ X’’(x) $ é a segunda derivada de $ X $ em relação ao espaço.
Passo 5
Dividindo ambos os lados da equação por $ a^{2} X(x) T(t) $, obtemos:
Aqui, $ \lambda $ é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações ordinárias:
- Para $ X(x) $:
- Para $ T(t) $:
Passo 6
Vamos resolver a equação para $ X(x) $ primeiro:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com soluções oscilatórias. As soluções dependem do valor de $ \lambda $.
Passo 7
Considerando as condições de contorno $ u(0, t) = 0 $ e $ u(L, t) = 0 $, aplicamos essas condições à função $ X(x) $:
Isso implica que os valores permitidos de $ \lambda $ são aqueles que satisfazem essas condições, levando a soluções não triviais.
Passo 8
A solução geral para $ X(x) $ que satisfaz as condições de contorno é:
onde $ n $ é um número inteiro positivo $ (n = 1, 2, 3, \dots) $. Isso nos dá os valores de $ \lambda $:
Passo 9
Agora, resolvemos a equação para $ T(t) $ com $ \lambda = \lambda_n $:
A solução dessa equação é:
onde $ A_n $ e $ B_n $ são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
Passo 10
A solução geral da equação da onda é uma soma de todas as soluções individuais:
Passo 11
Aplicamos agora as condições iniciais para determinar $ A_n $ e $ B_n $. As condições são:
Isso implica que $ A_n = 0 $ para todos os $ n $.
Passo 12
A segunda condição inicial é:
Para encontrar $ B_n $, expandimos $ g(x) $ em uma série de senos:
Comparando com a equação anterior, temos:
Passo 13
Finalmente, substituímos $ A_n = 0 $ e $ B_n $ na solução geral:
Resposta
A solução da equação da onda pelo método de separação de variáveis é:
onde os coeficientes $ C_n $ são determinados pela expansão em série de Fourier da função $ g(x) $.