Como feito em aula, pelo método de variáveis separáveis, resolver
l ut t=a^2 ux x u(x, 0)=0, ut(x, 0)=g(x) 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação da onda, que é um tipo de equação diferencial parcial, e vamos usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução. Precisamos entender um pouco de equações diferenciais, métodos de separação de variáveis e condições de contorno e iniciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos:
utt = a^2 uxx
Essa é a equação da onda, onde $ u(x, t) $ representa a posição da onda no ponto $ x $ e no tempo $ t $, e $ a $ é a velocidade da onda. As subscrito $ t $ e $ x $ indicam derivadas parciais em relação ao tempo e ao espaço, respectivamente.

Passo 3

O método de separação de variáveis assume que a solução $ u(x, t) $ pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de $ x $ e outra que depende só de $ t $:
u(x, t)

Passo 4

Vamos substituir $ u(x, t) = X(x) T(t) $ na equação da onda:
u(x, t) = X(x) T(t)
Aqui, $ T’’(t) $ é a segunda derivada de $ T $ em relação ao tempo, e $ X’’(x) $ é a segunda derivada de $ X $ em relação ao espaço.

Passo 5

Dividindo ambos os lados da equação por $ a^{2} X(x) T(t) $, obtemos:
a^2 X(x) T(t)
Aqui, $ \lambda $ é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações ordinárias:
  1. Para $ X(x) $:
T''(t)a^2 T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
  1. Para $ T(t) $:
lambda

Passo 6

Vamos resolver a equação para $ X(x) $ primeiro:
X(x)
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com soluções oscilatórias. As soluções dependem do valor de $ \lambda $.

Passo 7

Considerando as condições de contorno $ u(0, t) = 0 $ e $ u(L, t) = 0 $, aplicamos essas condições à função $ X(x) $:
u(0, t) = 0
Isso implica que os valores permitidos de $ \lambda $ são aqueles que satisfazem essas condições, levando a soluções não triviais.

Passo 8

A solução geral para $ X(x) $ que satisfaz as condições de contorno é:
X(x)
onde $ n $ é um número inteiro positivo $ (n = 1, 2, 3, \dots) $. Isso nos dá os valores de $ \lambda $:
Xn(x) = sin(npi xL)

Passo 9

Agora, resolvemos a equação para $ T(t) $ com $ \lambda = \lambda_n $:
T(t)
A solução dessa equação é:
lambda = lambdan
onde $ A_n $ e $ B_n $ são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

Passo 10

A solução geral da equação da onda é uma soma de todas as soluções individuais:
u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos(npi a tL) + Bn sin(npi a tL) ] sin(npi xL)

Passo 11

Aplicamos agora as condições iniciais para determinar $ A_n $ e $ B_n $. As condições são:
An
Isso implica que $ A_n = 0 $ para todos os $ n $.

Passo 12

A segunda condição inicial é:
ut(x, 0) = g(x) Rightarrow sumn=1^infty npi aL Bn sin(npi xL) = g(x)
Para encontrar $ B_n $, expandimos $ g(x) $ em uma série de senos:
Bn
Comparando com a equação anterior, temos:
g(x)

Passo 13

Finalmente, substituímos $ A_n = 0 $ e $ B_n $ na solução geral:
An = 0

Resposta

A solução da equação da onda pelo método de separação de variáveis é:
u(x, t) = sumn=1^infty [ Lnpi a Cn sin(npi a tL) ] sin(npi xL)
onde os coeficientes $ C_n $ são determinados pela expansão em série de Fourier da função $ g(x) $.

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