Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada, em torno do ponto
dado.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa achar o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função
, em torno do ponto
. Isso faz parte de cálculo multivariável, onde usamos derivadas parciais para aproximar funções perto de um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar calcular a função no ponto dado, suas primeiras derivadas parciais e as segundas derivadas parciais nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto
. Substituindo
e
na função:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as primeiras derivadas parciais da função, ou seja,
e
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Agora, avaliando em
:
Passo 4
Vamos fazer o mesmo para a derivada parcial em relação a
:
Avaliando em
:
Passo 5
Agora, precisamos das segundas derivadas parciais para montar o polinômio de Taylor de ordem 2.
Primeira, a segunda derivada em relação a
:
Avaliando em
:
Segunda, a derivada mista
:
Avaliando em
:
Terceira, a segunda derivada em relação a
:
Avaliando em
:
Passo 6
Agora que temos todas as derivadas necessárias, vamos montar o polinômio de Taylor de ordem 2. A fórmula geral para duas variáveis é:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando um pouco:
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem 2 para a função
em torno do ponto
é: