Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada, em torno do ponto (x0, y0) dado.
f(x, y)=x^3+2 x^2 y+3 y^3+x-y e (x0, y0)=(1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa achar o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função , em torno do ponto . Isso faz parte de cálculo multivariável, onde usamos derivadas parciais para aproximar funções perto de um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar calcular a função no ponto dado, suas primeiras derivadas parciais e as segundas derivadas parciais nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto f(1, 1) = (1)^3 + 2(1)^2(1) + 3(1)^3 + 1 - 1 = 1 + 2 + 3 + 1 - 1 = 6 . Substituindo e na função:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as primeiras derivadas parciais da função, ou seja, fx(x, y) = partialpartial x(x^3 + 2x^2y + 3y^3 + x - y) = 3x^2 + 4xy + 1 e fx(1, 1) = 3(1)^2 + 4(1)(1) + 1 = 3 + 4 + 1 = 8 .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Agora, avaliando em :

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para a derivada parcial em relação a fy(x, y) = partialpartial y(x^3 + 2x^2y + 3y^3 + x - y) = 2x^2 + 9y^2 - 1 :
fy(1, 1) = 2(1)^2 + 9(1)^2 - 1 = 2 + 9 - 1 = 10
Avaliando em :

Passo 5

Agora, precisamos das segundas derivadas parciais para montar o polinômio de Taylor de ordem 2.
Primeira, a segunda derivada em relação a fxx(x, y) = partialpartial x(3x^2 + 4xy + 1) = 6x + 4y :
fxx(1, 1) = 6(1) + 4(1) = 6 + 4 = 10
Avaliando em fxy(x, y) = partialpartial y(3x^2 + 4xy + 1) = 4x :
fxy(1, 1) = 4(1) = 4
Segunda, a derivada mista fyy(x, y) = partialpartial y(2x^2 + 9y^2 - 1) = 18y :
fyy(1, 1) = 18(1) = 18
Avaliando em :
Terceira, a segunda derivada em relação a :
Avaliando em :

Passo 6

Agora que temos todas as derivadas necessárias, vamos montar o polinômio de Taylor de ordem 2. A fórmula geral para duas variáveis é:
P2(x, y) = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0) + 12[ fxx(x0, y0)(x - x0)^2 + 2fxy(x0, y0)(x - x0)(y - y0) + fyy(x0, y0)(y - y0)^2 ]
Substituindo os valores que encontramos:
P2(x, y) = 6 + 8(x - 1) + 10(y - 1) + 12[ 10(x - 1)^2 + 2 cdot 4 (x - 1)(y - 1) + 18(y - 1)^2 ]
Simplificando um pouco:
P2(x, y) = 6 + 8(x - 1) + 10(y - 1) + 5(x - 1)^2 + 4(x - 1)(y - 1) + 9(y - 1)^2

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 2 para a função P2(x, y) = 6 + 8(x - 1) + 10(y - 1) + 5(x - 1)^2 + 4(x - 1)(y - 1) + 9(y - 1)^2 em torno do ponto é:

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