Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente ver se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa achar o limite. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e noções de limites para sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão. Observe que tanto no numerador quanto no denominador temos potências de 5 e de -3. A ideia é fatorar essas potências para facilitar a análise. Vamos escrever:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa fração. Como temos
no numerador e
no denominador, podemos dividir ambos por
:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos analisar o que acontece quando
tende ao infinito. O termo
é uma potência onde a base
é menor que 1 em módulo. Isso significa que, conforme
aumenta,
tende a zero. Portanto:
Assim, a expressão simplifica para:
Resposta
A sequência converge e o limite é
.