Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite: 5^n+1+(-3)^n+15^n+3+(-3)^n+3n >= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente ver se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa achar o limite. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e noções de limites para sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Observe que tanto no numerador quanto no denominador temos potências de 5 e de -3. A ideia é fatorar essas potências para facilitar a análise. Vamos escrever:
5^n+1 + (-3)^n+15^n+3 + (-3)^n+3 = 5^n+1(1 + (-35)^n+1)5^n+3(1 + (-35)^n+3)

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa fração. Como temos 5^n+15^n+3 = 15^2 = 125 no numerador e 125 cdot 1 + (-35)^n+11 + (-35)^n+3 no denominador, podemos dividir ambos por :
Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece quando limn to infty (-35)^n+1 = 0 e limn to infty (-35)^n+3 = 0 tende ao infinito. O termo 125 cdot 1 + 01 + 0 = 125 é uma potência onde a base é menor que 1 em módulo. Isso significa que, conforme aumenta, tende a zero. Portanto:
Assim, a expressão simplifica para:

Resposta

A sequência converge e o limite é .

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