D_{y}\left(\frac{\operatorname{tg} y+1}{\operatorname{tg} y-1}\right)

Passo 1

O que o problema pede: calcular a derivada em relação a y da função
\frac{\tan y + 1}{\tan y - 1}.
Informações importantes dadas pelo enunciado:
\text{numerador } N(y)=\tan y + 1,\qquad \text{denominador } D(y)=\tan y - 1.
Domínio onde a função (e a derivada) faz sentido: \tan y está definida quando \cos y\neq 0 e a expressão original exige \tan y-1\neq 0 (ou seja, \tan y\neq 1). A derivada só poderá ser calculada nesses pontos.

Passo 2

Fórmulas que vamos usar (explicando cada coisa):
  • Derivada da função tangente: a fórmula é
\frac{d}{dy}\big(\tan y\big)=\operatorname{sec}^2 y.
Aqui \operatorname{sec} y significa 1/\cos y, logo \operatorname{sec}^2 y=1/\cos^2 y. Exemplo simples: para y=0 temos \frac{d}{dy}\tan y\big|_{y=0}=\operatorname{sec}^2 0=1.
  • Regra do quociente: se f(y)=\dfrac{N(y)}{D(y)} com D(y)\neq 0, então
f'(y)=\frac{N'(y)D(y)-N(y)D'(y)}{D(y)^2},
onde N'(y) e D'(y) são as derivadas do numerador e do denominador respectivamente. A ideia é: derivar o topo e multiplicar pelo fundo, menos derivar o fundo e multiplicar pelo topo, tudo sobre o quadrado do fundo.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso problema: definimos
N(y)=\tan y+1,\qquad D(y)=\tan y-1.
Derivamos cada um usando a fórmula da tangente:
N'(y)=\operatorname{sec}^2 y,\qquad D'(y)=\operatorname{sec}^2 y.
Agora aplicamos a regra do quociente e escrevemos a expressão inicial da derivada:
\frac{d}{dy}\left(\frac{\tan y+1}{\tan y-1}\right) = \frac{\operatorname{sec}^2 y\cdot(\tan y-1)-(\tan y+1)\cdot\operatorname{sec}^2 y}{(\tan y-1)^2}.

Passo 4

Simplificamos a expressão factorizando \operatorname{sec}^2 y no numerador (já que aparece em ambos os termos):
\frac{\operatorname{sec}^2 y\big((\tan y-1)-(\tan y+1)\big)}{(\tan y-1)^2}.
Agora detalhamos a conta dentro do parêntese:
(\tan y-1)-(\tan y+1)=\tan y-1-\tan y-1=-2.

Passo 5

Substituindo essa simplificação obtemos:
\frac{d}{dy}\left(\frac{\tan y+1}{\tan y-1}\right) = \frac{\operatorname{sec}^2 y\cdot(-2)}{(\tan y-1)^2} = -\frac{2\operatorname{sec}^2 y}{(\tan y-1)^2}.
Se preferir escrever sem \operatorname{sec}, use \operatorname{sec}^2 y=1/\cos^2 y e obtenha a forma alternativa
-\frac{2}{\cos^2 y\,(\tan y-1)^2}.
Lembre-se: essa expressão vale apenas quando \cos y\neq 0 e \tan y\neq 1.

Resposta

-\dfrac{2\operatorname{sec}^2 y}{(\tan y-1)^2}

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