Seja f(x)=x^{2} em [-\pi, \pi], estendida 2 \pi-periodicamente.
a) Mostre que f é par.
b) Determine a série de Fourier de f em [-\pi, \pi].
Passo 1
O enunciado dá a função f definida por f(x)=x^{2} em [-\pi,\pi] e diz que ela é estendida 2\pi-periodicamente para todo \mathbb{R}. As perguntas são:
Mostrar que f é par (ou seja, f(-x)=f(x) para todo x).
Determinar a série de Fourier de f no intervalo [-\pi,\pi] (ou seja, escrever f como série trigonométrica periódica de período 2\pi).
Informações relevantes fornecidas:
A função base é f(x)=x^{2} em [-\pi,\pi].
A extensão é 2\pi-periódica (portanto a série de Fourier será com frequências n inteiras e termos \cos(nx), \sin(nx)).
Intervalo de definição para a série: [-\pi,\pi].
Passo 2
Mostrar que f é par: definição e verificação direta.
Definição: uma função g é par se, para todo x, g(-x)=g(x).
Aqui, para qualquer x\in\mathbb{R} (ou ao menos para todo x do intervalo), calculamos
(-x)^{2}=x^{2}.
Logo, f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x) para todo x. Portanto f é par.
Observação didática: como x^{2} é uma expressão que depende apenas do quadrado de x, o sinal de x não muda o valor; por isso é par. A extensão 2\pi-periódica mantém essa paridade (ou seja, a função periódica definida por repetições de x^{2} em [-\pi,\pi] também é par), mas aqui nem precisamos de argumento adicional porque x^{2} já é par em toda \mathbb{R}.
Passo 3
Escrever a forma geral da série de Fourier em [-\pi,\pi] e simplificação para função par.
Forma geral: uma função 2\pi-periódica e razoavelmente integrável tem série de Fourier dada por
Para função par: f(-x)=f(x). O produto f(x)\sin(nx) é então função ímpar (produto de par por ímpar), logo sua integral simétrica é zero; assim todos os b_{n}=0. Além disso, para a_{n} podemos usar a simetria e escrever
Vamos calcular I_{n} por partes duas vezes. Lembra: integração por partes usa \int u\,dv = uv-\int v\,du. Escolhemos para a primeira vez u=x^{2} e dv=\cos(nx)\,dx. Então
Comentário didático sobre convergência: f(x)=x^{2} é contínua e tem derivadas suficientes em cada ponto, portanto a série de Fourier converge uniformemente e ponto a ponto para f(x) em todo x. Em particular, para cada x real a série acima soma exatamente x^{2}.
Resposta
a) f é par porque (-x)^{2}=x^{2}, logo f(-x)=f(x) para todo x.\n
b) \displaystyle f(x)=\frac{\pi^{2}}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\cos(nx).