Seja f(x)=x^{2} em [-\pi, \pi], estendida 2 \pi-periodicamente.
a) Mostre que f é par.
b) Determine a série de Fourier de f em [-\pi, \pi].

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=x^{2} em [-\pi,\pi] e diz que ela é estendida 2\pi-periodicamente para todo \mathbb{R}. As perguntas são:
  1. Mostrar que f é par (ou seja, f(-x)=f(x) para todo x).
  2. Determinar a série de Fourier de f no intervalo [-\pi,\pi] (ou seja, escrever f como série trigonométrica periódica de período 2\pi).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função base é f(x)=x^{2} em [-\pi,\pi].
  • A extensão é 2\pi-periódica (portanto a série de Fourier será com frequências n inteiras e termos \cos(nx), \sin(nx)).
  • Intervalo de definição para a série: [-\pi,\pi].

Passo 2

Mostrar que f é par: definição e verificação direta.
  • Definição: uma função g é par se, para todo x, g(-x)=g(x).
  • Aqui, para qualquer x\in\mathbb{R} (ou ao menos para todo x do intervalo), calculamos
(-x)^{2}=x^{2}.
  • Logo, f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x) para todo x. Portanto f é par.
  • Observação didática: como x^{2} é uma expressão que depende apenas do quadrado de x, o sinal de x não muda o valor; por isso é par. A extensão 2\pi-periódica mantém essa paridade (ou seja, a função periódica definida por repetições de x^{2} em [-\pi,\pi] também é par), mas aqui nem precisamos de argumento adicional porque x^{2} já é par em toda \mathbb{R}.

Passo 3

Escrever a forma geral da série de Fourier em [-\pi,\pi] e simplificação para função par.
  • Forma geral: uma função 2\pi-periódica e razoavelmente integrável tem série de Fourier dada por
f(x)\sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\bigr),
onde os coeficientes são
a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\qquad b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx,
e
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx.
  • Para função par: f(-x)=f(x). O produto f(x)\sin(nx) é então função ímpar (produto de par por ímpar), logo sua integral simétrica é zero; assim todos os b_{n}=0. Além disso, para a_{n} podemos usar a simetria e escrever
a_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx\qquad(n\ge 0),
onde a_{0} está incluso nessa fórmula com n=0 (lembrando depois de tomar \tfrac{a_0}{2} na série).

Passo 4

Calcular a_{0} (muito didático: passo a passo).
  • Usamos
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^{2}\,dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^{2}\,dx,
pela simetria (integrando de -\pi a \pi dá duas vezes a integral de 0 a \pi).
  • Calcular a integral
\int_{0}^{\pi}x^{2}\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{\pi}=\frac{\pi^{3}}{3}.
  • Portanto
a_{0}=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi^{3}}{3}=\frac{2\pi^{2}}{3}.
  • Na série aparece \tfrac{a_{0}}{2}, logo o termo constante é
\frac{a_{0}}{2}=\frac{\pi^{2}}{3}.

Passo 5

Calcular a_{n} para n\ge 1 (integração por partes explicada detalhadamente).
  • A fórmula reduzida é
a_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^{2}\cos(nx)\,dx.
Denotemos
I_{n}=\int_{0}^{\pi}x^{2}\cos(nx)\,dx.
Vamos calcular I_{n} por partes duas vezes. Lembra: integração por partes usa \int u\,dv = uv-\int v\,du. Escolhemos para a primeira vez u=x^{2} e dv=\cos(nx)\,dx. Então
du=2x\,dx,\qquad v=\frac{\sin(nx)}{n}.
Aplicando:
I_{n}=\left.\frac{x^{2}\sin(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(nx)}{n}\cdot 2x\,dx.
  • O primeiro termo vale \dfrac{\pi^{2}\sin(n\pi)}{n}-0. Mas \sin(n\pi)=0 para todo inteiro n, então essa parte é zero. Ficamos com
I_{n}=-\frac{2}{n}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx.
  • Agora calculamos J_{n}=\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx por partes novamente, escolhendo u=x e dv=\sin(nx)\,dx. Então
du=dx,\qquad v=-\frac{\cos(nx)}{n}.
Logo
J_{n}=\left.-\frac{x\cos(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}+\int_{0}^{\pi}\frac{\cos(nx)}{n}\,dx.
  • Avaliando o primeiro termo:
\left.-\frac{x\cos(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}=-\frac{\pi\cos(n\pi)}{n}-0=-\frac{\pi\cos(n\pi)}{n}.
  • A segunda integral é \dfrac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx. Mas
\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx=\left.\frac{\sin(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}=0,
porque \sin(n\pi)=0. Assim essa parte é zero, e obtemos
J_{n}=-\frac{\pi\cos(n\pi)}{n}.
  • Voltando a I_{n}:
I_{n}=-\frac{2}{n}J_{n}=-\frac{2}{n}\left(-\frac{\pi\cos(n\pi)}{n}\right)=\frac{2\pi\cos(n\pi)}{n^{2}}.
  • Portanto
a_{n}=\frac{2}{\pi}I_{n}=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{2\pi\cos(n\pi)}{n^{2}}=\frac{4\cos(n\pi)}{n^{2}}.
  • Como \cos(n\pi)=(-1)^{n}, podemos escrever de forma explícita
a_{n}=\frac{4(-1)^{n}}{n^{2}}\qquad(n\ge 1).

Passo 6

Determinar b_{n} e montar a série completa; comentar sobre convergência.
  • Para função par, como explicado no Passo 3,
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^{2}\sin(nx)\,dx=0\qquad\text{para todo }n\ge 1,
porque a integranda é função ímpar.
  • Logo a série de Fourier (soma de termos não nulos) é
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos(nx)
com os coeficientes já calculados. Substituindo:
f(x)=\frac{\pi^{2}}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4(-1)^{n}}{n^{2}}\cos(nx).
  • Comentário didático sobre convergência: f(x)=x^{2} é contínua e tem derivadas suficientes em cada ponto, portanto a série de Fourier converge uniformemente e ponto a ponto para f(x) em todo x. Em particular, para cada x real a série acima soma exatamente x^{2}.

Resposta

a) f é par porque (-x)^{2}=x^{2}, logo f(-x)=f(x) para todo x.\n
b) \displaystyle f(x)=\frac{\pi^{2}}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\cos(nx).

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