Passo 1
O problema pede a derivada da função
em relação a
.
Informações dadas: a função é . Queremos
. Não há outros dados; observe que a expressão só faz sentido onde o denominador
.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Vou usar a regra do quociente (uma ferramenta padrão para derivar frações). A regra diz: se
e
são diferenciáveis e
, então
Aqui
e
são as derivadas de
e
. Essa fórmula vem de derivar
usando a regra do produto e a regra da cadeia: derivada de
é
.
Passo 3
Identifico
e
na nossa função:
Calculo as derivadas básicas (lembre:
e
):
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Agora faço a álgebra no numerador passo a passo:
Portanto o numerador é
Uso a identidade pitagórica
para simplificar:
logo o numerador fica
Assim a derivada simplificada é
Passo 5
Comentário importante (útil para a prova): a expressão encontrada vale sempre que o denominador for não nulo, ou seja, para
tais que
. Isso acontece quando
,
. Em pontos onde
a função original não está definida e não podemos falar da derivada.