\frac{d}{d x}\left(\frac{\operatorname{sen} x-1}{\cos x+1}\right)

Passo 1

O problema pede a derivada da função \displaystyle \frac{\operatorname{sen} x - 1}{\cos x + 1} em relação a x.
Informações dadas: a função é \displaystyle f(x)=\frac{\operatorname{sen} x - 1}{\cos x + 1}. Queremos \displaystyle \frac{d}{dx}\!\left(\frac{\operatorname{sen} x - 1}{\cos x + 1}\right). Não há outros dados; observe que a expressão só faz sentido onde o denominador \cos x + 1 \neq 0.

Passo 2

Vou usar a regra do quociente (uma ferramenta padrão para derivar frações). A regra diz: se u(x) e v(x) são diferenciáveis e v(x)\neq 0, então
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v - u v'}{v^2}.
Aqui u' e v' são as derivadas de u e v. Essa fórmula vem de derivar u\cdot v^{-1} usando a regra do produto e a regra da cadeia: derivada de v^{-1} é -v' v^{-2}.

Passo 3

Identifico u e v na nossa função:
u(x)=\operatorname{sen} x - 1,\qquad v(x)=\cos x + 1.
Calculo as derivadas básicas (lembre: \frac{d}{dx}\operatorname{sen}x=\cos x e \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x):
u'(x)=\cos x,\qquad v'(x)=-\sin x.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\operatorname{sen} x - 1}{\cos x + 1}\right) =\frac{u'v - u v'}{v^2} =\frac{\cos x(\cos x+1) - (\operatorname{sen} x - 1)(-\,\operatorname{sen} x)}{(\cos x+1)^2}.
Agora faço a álgebra no numerador passo a passo:
\cos x(\cos x+1)=\cos^2 x + \cos x,
(\operatorname{sen} x - 1)(-\,\operatorname{sen} x)=-\operatorname{sen}^2 x + \operatorname{sen} x.
Portanto o numerador é
\cos^2 x + \cos x -\big(-\operatorname{sen}^2 x + \operatorname{sen} x\big) =\cos^2 x + \cos x + \operatorname{sen}^2 x - \operatorname{sen} x.
Uso a identidade pitagórica \operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1 para simplificar:
\cos^2 x + \operatorname{sen}^2 x = 1,
logo o numerador fica
1 + \cos x - \operatorname{sen} x.
Assim a derivada simplificada é
\frac{1 + \cos x - \operatorname{sen} x}{(\cos x + 1)^2}.

Passo 5

Comentário importante (útil para a prova): a expressão encontrada vale sempre que o denominador for não nulo, ou seja, para x tais que \cos x + 1 \neq 0. Isso acontece quando x \neq \pi + 2k\pi, k\in\mathbb{Z}. Em pontos onde \cos x = -1 a função original não está definida e não podemos falar da derivada.

Resposta

\displaystyle \frac{1+\cos x-\operatorname{sen} x}{(\cos x+1)^2}

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