Para a E.D.O.
y^prime prime-2 x y^prime+y=0
escreva a solução geral na forma y(x)=sumn=0^infty an x^n=a0 y1(x)+a1 y2(x), dando os 3 primeiros termos da série de y1(x) e da de y2(x). Não é necessário encontrar uma fórmula para o termo geral delas.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO y'' - 2x y' + y = 0 através de série de potências, de forma que y(x)=sumn=0^infty an x^n = a0 y1(x) + a1 y2(x), obtendo os três primeiros termos de y1 e y2.

Passo 2

Assumimos uma solução em série:
y(x)=sumn=0^infty an x^n,
Aplicamos derivação termo a termo:
y'(x)=sumn=1^infty n an x^n-1,
y''(x)=sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2

Passo 3

Substituindo em y'' - 2x y' + y = 0 e reindexando somas, igualamos coeficientes de x^k e obtemos a relação de recorrência
(k+2)(k+1)ak+2 + (1-2k)ak = 0
que leva a
ak+2 = 2k-1(k+2)(k+1),ak, k>=0

Passo 4

Para construir as séries fundamentais, definimos condições iniciais:
  • Para y1: a0=1, a1=0, então
    a2 = -tfrac12, a4 = -tfrac18,
    o que dá
y1(x)=1 - 12 x^2 - 8 x^4 + dots ,

Passo 5

  • Para y2: a0=0, a1=1, então
    a3 = tfrac16, a5 = tfrac124,
    o que dá
y2(x)=x + 16 x^3 + 124x^5 + dots .

Resposta

As séries fundamentais são
y1(x)=1-tfrac12x^2-tfrac18x^4+dots,
y2(x)=x+tfrac16x^3+tfrac124x^5+dots,
e a solução geral é
y(x)=a0y1(x)+a1y2(x)

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