Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função:
f(x, y)=y^3+3 x^2 y-6 x^2-6 y^2+2
R: f(0,0)=2 máx. local
f(0,4)=-30 mín. local
(2,2) e (-2,2) pontos de sela

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função $ f(x, y) = y^{3} + 3x^{2}y - 6x^{2} - 6y^{2} + 2 $. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e análise de pontos críticos. Vamos precisar calcular as derivadas da função, encontrar onde elas são zero (pontos críticos) e analisar a natureza desses pontos usando a matriz Hessiana.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
f
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
x

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos (x, y) onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Resolvendo $ f_x = 0 $:
fx = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. $ x = 0 $
  2. $ y = 2 $
Vamos analisar cada caso separadamente.

Passo 4

Caso 1: $ x = 0 $
Substituindo $ x = 0 $ na equação $ f_y = 0 $:
x = 0
Isso nos dá:
  1. $ y = 0 $
  2. $ y = 4 $
Então, os pontos críticos nesse caso são $ (0, 0) $ e $ (0, 4) $.

Passo 5

Caso 2: $ y = 2 $
Substituindo $ y = 2 $ na equação $ f_y = 0 $:
y = 2
Isso nos dá:
  1. $ x = 2 $
  2. $ x = -2 $
Portanto, os pontos críticos nesse caso são $ (2, 2) $ e $ (-2, 2) $.

Passo 6

Agora identificamos todos os pontos críticos:
  • $ (0, 0) $
  • $ (0, 4) $
  • $ (2, 2) $
  • $ (-2, 2) $
Vamos analisar cada um para determinar se são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 7

Para classificar os pontos críticos, vamos utilizar a matriz Hessiana $ H $, que é composta pelas segundas derivadas parciais:
H
Calculando as segundas derivadas:
H = fxx & fxy fyx & fyy
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 6y - 12
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 6x

Passo 8

Vamos calcular o determinante da matriz Hessiana $ D $ para cada ponto crítico:
D
Dependendo do valor de $ D $ e do sinal de $ f_{xx} $, podemos determinar a natureza do ponto crítico:
  • Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $: mínimo local
  • Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $: máximo local
  • Se $ D < 0 $: ponto de sela
  • Se $ D = 0 $: teste inconclusivo

Passo 9

Analisando o ponto $ (0, 0) $:
Calculando as segundas derivadas:
(0, 0)
fxx = 6(0) - 12 = -12
fyy = 6(0) - 12 = -12
Calculando $ D $:
fxy = 6(0) = 0
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, o ponto $ (0, 0) $ é um máximo local.

Passo 10

Analisando o ponto $ (0, 4) $:
Calculando as segundas derivadas:
(0, 4)
fxx = 6(4) - 12 = 24 - 12 = 12
fyy = 6(4) - 12 = 24 - 12 = 12
Calculando $ D $:
fxy = 6(0) = 0
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, o ponto $ (0, 4) $ é um mínimo local.

Passo 11

Analisando os pontos $ (2, 2) $ e $ (-2, 2) $:
Calculando as segundas derivadas para $ (2, 2) $:
(2, 2)
(-2, 2)
(2, 2)
Calculando $ D $:
fxx = 6(2) - 12 = 12 - 12 = 0
Como $ D < 0 $, os pontos $ (2, 2) $ e $ (-2, 2) $ são pontos de sela.

Resposta

  • $ f(0, 0) = 2 $ é um máximo local.
  • $ f(0, 4) = -30 $ é um mínimo local.
  • Os pontos $ (2, 2) $ e $ (-2, 2) $ são pontos de sela.

Exercícios relacionados