Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função:
máx. local
mín. local
e
pontos de sela
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função $ f(x, y) = y^{3} + 3x^{2}y - 6x^{2} - 6y^{2} + 2 $. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e análise de pontos críticos. Vamos precisar calcular as derivadas da função, encontrar onde elas são zero (pontos críticos) e analisar a natureza desses pontos usando a matriz Hessiana.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos
onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Resolvendo $ f_x = 0 $:
Isso nos dá duas possibilidades:
- $ x = 0 $
- $ y = 2 $
Vamos analisar cada caso separadamente.
Passo 4
Caso 1: $ x = 0 $
Substituindo $ x = 0 $ na equação $ f_y = 0 $:
Isso nos dá:
- $ y = 0 $
- $ y = 4 $
Então, os pontos críticos nesse caso são $ (0, 0) $ e $ (0, 4) $.
Passo 5
Caso 2: $ y = 2 $
Substituindo $ y = 2 $ na equação $ f_y = 0 $:
Isso nos dá:
- $ x = 2 $
- $ x = -2 $
Portanto, os pontos críticos nesse caso são $ (2, 2) $ e $ (-2, 2) $.
Passo 6
Agora identificamos todos os pontos críticos:
- $ (0, 0) $
- $ (0, 4) $
- $ (2, 2) $
- $ (-2, 2) $
Vamos analisar cada um para determinar se são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 7
Para classificar os pontos críticos, vamos utilizar a matriz Hessiana $ H $, que é composta pelas segundas derivadas parciais:
Calculando as segundas derivadas:
Passo 8
Vamos calcular o determinante da matriz Hessiana $ D $ para cada ponto crítico:
Dependendo do valor de $ D $ e do sinal de $ f_{xx} $, podemos determinar a natureza do ponto crítico:
- Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $: mínimo local
- Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $: máximo local
- Se $ D < 0 $: ponto de sela
- Se $ D = 0 $: teste inconclusivo
Passo 9
Analisando o ponto $ (0, 0) $:
Calculando as segundas derivadas:
Calculando $ D $:
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, o ponto $ (0, 0) $ é um máximo local.
Passo 10
Analisando o ponto $ (0, 4) $:
Calculando as segundas derivadas:
Calculando $ D $:
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, o ponto $ (0, 4) $ é um mínimo local.
Passo 11
Analisando os pontos $ (2, 2) $ e $ (-2, 2) $:
Calculando as segundas derivadas para $ (2, 2) $:
Calculando $ D $:
Como $ D < 0 $, os pontos $ (2, 2) $ e $ (-2, 2) $ são pontos de sela.
Resposta
- $ f(0, 0) = 2 $ é um máximo local.
- $ f(0, 4) = -30 $ é um mínimo local.
- Os pontos $ (2, 2) $ e $ (-2, 2) $ são pontos de sela.