d)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO não linear de primeira ordem
y′ = y² – x com condição inicial y(2)=5. Isso cai na classe de equações de Riccati, e vamos precisar usar a transformação que leva a uma EDO linear de segunda ordem.
y′ = y² – x com condição inicial y(2)=5. Isso cai na classe de equações de Riccati, e vamos precisar usar a transformação que leva a uma EDO linear de segunda ordem.
Passo 2
A equação de Riccati genérica é y′ = y² + P(x)y + Q(x). Aqui P(x)=0 e Q(x) = –x. Aplicamos a substituição
y = –u′/u
para reduzir a Riccati a uma EDO linear para u.
y = –u′/u
para reduzir a Riccati a uma EDO linear para u.
Passo 3
Substituindo y = –u′/u em y′ = y² – x e simplificando, obtemos
–u″/u + (u′/u)² = (u′/u)² – x
Cancelando (u′/u)² de ambos os lados, sobra
–u″/u + (u′/u)² = (u′/u)² – x
Cancelando (u′/u)² de ambos os lados, sobra
$$
u’’ = x,u$$
que equivale à equação de Airy padrão u″ – x u = 0.
que equivale à equação de Airy padrão u″ – x u = 0.
Passo 4
A solução geral da equação de Airy é
$$
u(x) = C_1,\mathrm{Ai}(x) + C_2,\mathrm{Bi}(x)
y(x) = -\frac{u’(x)}{u(x)} = -\frac{C_1,\mathrm{Ai}’(x) + C_2,\mathrm{Bi}’(x)}{C_1,\mathrm{Ai}(x) + C_2,\mathrm{Bi}(x)}
$$
Passo 5
Agora aplicamos a condição inicial y(2)=5. Isso dá
ou seja, definindo K = C_2/C_1, obtemos
Resolvendo para K, encontramos
Resposta
A solução da condição inicial é
com
$$
K = -\frac{\mathrm{Ai}’(2) + 5,\mathrm{Ai}(2)}{\mathrm{Bi}’(2) + 5,\mathrm{Bi}(2)}.$$