d) y^prime=y^2-x, com y(2)=5

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não linear de primeira ordem
y′ = y² – x com condição inicial y(2)=5. Isso cai na classe de equações de Riccati, e vamos precisar usar a transformação que leva a uma EDO linear de segunda ordem.

Passo 2

A equação de Riccati genérica é y′ = y² + P(x)y + Q(x). Aqui P(x)=0 e Q(x) = –x. Aplicamos a substituição
y = –u′/u
para reduzir a Riccati a uma EDO linear para u.

Passo 3

Substituindo y = –u′/u em y′ = y² – x e simplificando, obtemos
–u″/u + (u′/u)² = (u′/u)² – x
Cancelando (u′/u)² de ambos os lados, sobra
$$
u’’ = x,u$$
que equivale à equação de Airy padrão u″ – x u = 0.

Passo 4

A solução geral da equação de Airy é
$$
u(x) = C_1,\mathrm{Ai}(x) + C_2,\mathrm{Bi}(x) u(x) = C1,Ai(x) + C2,Bi(x)ãçõà
y(x) = -\frac{u’(x)}{u(x)} = -\frac{C_1,\mathrm{Ai}’(x) + C_2,\mathrm{Bi}’(x)}{C_1,\mathrm{Ai}(x) + C_2,\mathrm{Bi}(x)}
$$

Passo 5

Agora aplicamos a condição inicial y(2)=5. Isso dá
-C1,Ai'(2) + C2,Bi'(2)C1,Ai(2) + C2,Bi(2) = 5
ou seja, definindo K = C_2/C_1, obtemos
-Ai'(2) + K,Bi'(2)Ai(2) + K,Bi(2) = 5
Resolvendo para K, encontramos
K = -Ai'(2) + 5,Ai(2)Bi'(2) + 5,Bi(2) .

Resposta

A solução da condição inicial é
y(x) = -Ai'(x) + K,Bi'(x)Ai(x) + K,Bi(x),
com
$$
K = -\frac{\mathrm{Ai}’(2) + 5,\mathrm{Ai}(2)}{\mathrm{Bi}’(2) + 5,\mathrm{Bi}(2)}.$$

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