I. A função geradora de (1,-1,1,-1, ldots) é G(x)=11-x.
II. A função geradora de (2,0,2,0, ldots) é G(x)=21-x^2.
III. A função geradora de ( 0,0,0,1,-1,1, ldots ) é G(x)=x^31+x.
IV. A função geradora de (1,-2,3,-4, ldots) é G(x)=1(1+x)^2.
É correto o que se afirma em:
A) II e III.
B) Ie III.
C) lle IV.
D) III e IV.
E) leiv.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre funções geradoras de certas sequências. Função geradora é uma ferramenta que transforma uma sequência de números em uma expressão algébrica, facilitando análises e cálculos. No nosso caso, precisamos verificar quais das afirmações sobre as funções geradoras estão corretas para as sequências dadas.

Passo 2

Vamos analisar cada uma das afirmações:
I. A função geradora de (1, -1, 1, -1, …) é $ G(x) = \frac{1}{1 - x} $.
Vamos verificar isso. A sequência é $ a_0 = 1 $, $ a_1 = -1 $, $ a_2 = 1 $, $ a_3 = -1 $, e assim por diante. A função geradora dessa sequência seria:
G(x) = 11 - x
Isso é uma série geométrica com razão $ -x $, então sua soma é:
a0 = 1
Portanto, a afirmação I está incorreta, pois o correto é $ \frac{1}{1 + x} $, não $ \frac{1}{1 - x} $.

Passo 3

II. A função geradora de (2, 0, 2, 0, …) é $ G(x) = \frac{2}{1 - x^2} $.
Vamos verificar. A sequência é $ a_0 = 2 $, $ a_1 = 0 $, $ a_2 = 2 $, $ a_3 = 0 $, e assim por diante. A função geradora seria:
G(x) = 21 - x^2
Essa é uma série geométrica com razão $ x^2 $, então a soma é:
a0 = 2
Portanto, a afirmação II está correta.

Passo 4

III. A função geradora de (0, 0, 0, 1, -1, 1, …) é $ G(x) = \frac{x^3}{1 + x} $.
Vamos verificar. A sequência é $ a_0 = 0 $, $ a_1 = 0 $, $ a_2 = 0 $, $ a_3 = 1 $, $ a_4 = -1 $, $ a_5 = 1 $, e assim por diante. A função geradora seria:
G(x) = x^31 + x
A série dentro dos parênteses é uma série geométrica com razão $ -x $, então:
a0 = 0
Portanto, a afirmação III está correta.

Passo 5

IV. A função geradora de (1, -2, 3, -4, …) é $ G(x) = \frac{1}{(1 + x)^2} $.
Vamos verificar. A sequência é $ a_0 = 1 $, $ a_1 = -2 $, $ a_2 = 3 $, $ a_3 = -4 $, e assim por diante. A função geradora seria:
G(x) = 1(1 + x)^2
Sabemos que $ \frac{1}{(1 + x)^2} = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \dots $, que corresponde exatamente à nossa sequência.
Portanto, a afirmação IV está correta.

Resposta

A resposta correta é a opção C) II e IV.

Exercícios relacionados