y^prime+P(x) y=Q(x) y^alpha
com alpha neq 0 e alpha neq 1 são equações de Bernouilli.
Resolver a equação
y^prime-2x y-x raizy=0
R. Temos uma equação de Bernoulli com alpha=12.
Para resolvê-la fazemos asubstituição y=u v. Temos
u^prime v+u v^prime=2x u v+x raizu v
ou
(u^prime-2x u) v+v^prime u=x raizu v
Para determinar a função u exigimos que
u^prime-2x u=0
donde obtemos u=x^2.
Assim,
v^prime x^2=x raizx^2 v Long<=ftrightarrow v^prime=raizv
E
v(x)=(12 x+c)^2
donde
y(x)=x^2(12 x+c)^2

Passo 1

Temos a EDO y'-tfrac2xy - xraizy=0. Ela pode ser colocada no formato de Bernoulli
y'+P(x)y=Q(x)y^alpha
com P(x)=-tfrac2x, Q(x)=x e alpha=1/2. Para transformar em linear, vamos usar a substituição v=y^1-alpha=y^1/2.

Passo 2

Como v=y^1/2, derivando em relação a x temos
v'=12y^-1/2y'
ou seja y'=2v v'. Substituindo na equação original:
2v v'-2xv^2 - x v=0
Dividindo por 2v (assumindo vneq0) obtemos a equação linear
v'-1xv=x2

Passo 3

O termo da esquerda é do tipo v'+a(x)v, então o fator integrante é
mu(x)=e^-integraltfrac1xdx=x^-1
Multiplicando toda a equação por x^-1 chega-se a
ddxl(vxr)=12
Integrando ambos os lados em relação a x:
vx=x2+C
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v=xl(x2+Cr)

Passo 4

Voltando à função original, como y=v^2 concluímos que a solução geral é
y(x)=l[xl(tfracx2+Cr)r]^2 =x^2l(tfracx2+Cr)^2

Resposta

y(x)=x2\bigl(\tfrac{x}{2}+C\bigr)2

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