& y^prime=1x y & y(1)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem y'=tfrac1x,y com a condição inicial y(1)=2. Esse é um caso clássico de equação diferencial separável, e vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, escrevemos dydx=yx e separamos as variáveis colocando todos os termos em y de um lado e em x do outro:
1y,dy = 1x,dx
Agora, integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = integral 1x,dx
Isso leva a
ln|y| = ln|x| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos, escrevemos
y = A,x,
onde A = e^C. Para determinar A, aplicamos a condição inicial y(1)=2:
2 = A cdot 1 Rightarrow A = 2

Resposta

y(x)=2x

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