d yd t=alpha y(1-y)
onde alpha é um fator de proporcionalidade positiva.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial tfracdydt=alpha,y(1-y), que é a forma clássica da equação logística. Vamos usar técnicas de EDO de primeira ordem separável e integração por frações parciais para resolver.

Passo 2

Separe as variáveis para agrupar termos em y de um lado e termos em t do outro. Escrevemos:
1y(1-y),dy = alpha,dt

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, decomponha em frações parciais:
1y(1-y) = Ay + B1-y
Encontramos A=1 e B=1, pois:
1 = A(1-y)+By implies A=B=1

Passo 4

Substitua na integral e integre ambos os lados:
integral1y,dy + integral11-y,dy = integralalpha,dt
Isso dá:
ln|y| - ln|1-y| = alpha t + C

Passo 5

Combine os logaritmos em um só e exponencie para isolar y:
lnl(y1-yr) = alpha t + C
y1-y = e^alpha t + C = Ce^alpha t, C>0

Passo 6

Por fim, resolva para y:
y = Ce^alpha t1 + Ce^alpha t
Esse é o formato geral. Podemos reescrever a constante C como e^-beta ou outro parâmetro B para simplificar a forma.

Passo 7

A forma mais comum da solução logística com constante arbitrária B é:
$$
y(t) = \frac{1}{1 + B e^{-\alpha t}},\quad B\in\mathbb{R}\n$$

Resposta

A solução geral da equação tfracdydt=alpha y(1-y) é
y(t) = 11 + B e^-alpha t,
onde B é uma constante determinada pela condição inicial.

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