onde
é um fator de proporcionalidade positiva.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial
, que é a forma clássica da equação logística. Vamos usar técnicas de EDO de primeira ordem separável e integração por frações parciais para resolver.
Passo 2
Separe as variáveis para agrupar termos em
de um lado e termos em
do outro. Escrevemos:
Passo 3
Para integrar o lado esquerdo, decomponha em frações parciais:
Encontramos
e
, pois:
Passo 4
Substitua na integral e integre ambos os lados:
Isso dá:
Passo 5
Combine os logaritmos em um só e exponencie para isolar
:
Passo 6
Por fim, resolva para
:
Esse é o formato geral. Podemos reescrever a constante
como
ou outro parâmetro
para simplificar a forma.
Passo 7
A forma mais comum da solução logística com constante arbitrária
é:
$$
y(t) = \frac{1}{1 + B e^{-\alpha t}},\quad B\in\mathbb{R}\n$$
Resposta
A solução geral da equação
é
onde
é uma constante determinada pela condição inicial.