Use integral múltipla para determinar o volume do solido limitado
Pelo paraboloide
e o pelo plano
Pelo paraboloide
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o volume do sólido limitado pelo paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $ e pelo plano $ z = x $. A matéria aqui envolve cálculo de integrais múltiplas, mais especificamente usando coordenadas polares para facilitar a integração. Vamos precisar entender como encontrar a região de intersecção dessas superfícies e configurar a integral correta para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde o paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $ e o plano $ z = x $ se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 3
Vamos completar o quadrado para simplificar essa expressão. Observando a parte que envolve $ x $:
Substituindo de volta, temos:
Isso representa um círculo com centro em $ \left(\frac{1}{2}, 0\right) $ e raio $ \frac{1}{2} $.
Passo 4
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares. Fazendo a troca:
A equação do paraboloide fica $ z = r^{2} $ e a do plano fica $ z = r \cos\theta $.
Passo 5
Encontrando a interseção:
Isso nos indica que $ r $ varia de 0 até $ \cos\theta $, e $ \theta $ varia de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{\pi}{2} $ (onde $ \cos\theta $ é não negativa).
Passo 6
O volume $ V $ pode ser expresso como uma integral dupla:
Passo 7
Vamos primeiro integrar em relação a $ r $:
Passo 8
Agora, integramos em relação a $ \theta $:
Usamos a identidade trigonométrica para integrar $ \cos^{4}\theta $:
Portanto:
Resposta
O volume do sólido é $ \frac{\pi}{16} $ unidades cúbicas.