Use integral múltipla para determinar o volume do solido limitado
Pelo paraboloide z=x^2+y^2 e o pelo plano z=x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o volume do sólido limitado pelo paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $ e pelo plano $ z = x $. A matéria aqui envolve cálculo de integrais múltiplas, mais especificamente usando coordenadas polares para facilitar a integração. Vamos precisar entender como encontrar a região de intersecção dessas superfícies e configurar a integral correta para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde o paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $ e o plano $ z = x $ se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
z = x^2 + y^2
Isso pode ser reescrito como:
z = x

Passo 3

Vamos completar o quadrado para simplificar essa expressão. Observando a parte que envolve $ x $:
x
Substituindo de volta, temos:
x^2 - x = (x - 12)^2 - 14
Isso representa um círculo com centro em $ \left(\frac{1}{2}, 0\right) $ e raio $ \frac{1}{2} $.

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares. Fazendo a troca:
x = r costheta y = r sintheta
A equação do paraboloide fica $ z = r^{2} $ e a do plano fica $ z = r \cos\theta $.

Passo 5

Encontrando a interseção:
r^2 = r costheta Rightarrow r = costheta
Isso nos indica que $ r $ varia de 0 até $ \cos\theta $, e $ \theta $ varia de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{\pi}{2} $ (onde $ \cos\theta $ é não negativa).

Passo 6

O volume $ V $ pode ser expresso como uma integral dupla:
V

Passo 7

Vamos primeiro integrar em relação a $ r $:
r

Passo 8

Agora, integramos em relação a $ \theta $:
theta
Usamos a identidade trigonométrica para integrar $ \cos^{4}\theta $:
V = 112 integral-pi2^pi2 cos^4theta , dtheta
Portanto:
cos^4theta

Resposta

O volume do sólido é $ \frac{\pi}{16} $ unidades cúbicas.

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