Use integral múltipla para determinar o volume do solido limitado
Pelos paraboloides
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Pelos paraboloides
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo de volume usando integrais múltiplas. O problema pede para determinar o volume do sólido limitado pelos paraboloides $ z = 9x^{2} + y^{2} $ e $ z = x^{2} + y^{2} $. Para isso, vamos precisar entender como configurar uma integral dupla que represente esse volume, identificando a região de integração no plano $ xy $ onde os dois paraboloides se intersectam.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a interseção dos dois paraboloides para determinar os limites da nossa região de integração. Igualamos as duas equações:
Simplificando essa equação, subtraímos $ y^{2} $ de ambos os lados:
Então, subtraindo $ x^{2} $:
Isso significa que a interseção ocorre ao longo da linha $ x = 0 $, ou seja, no eixo $ y $. Portanto, os paraboloides se tocam apenas nessa linha.
Passo 3
Para determinar a região de integração no plano $ xy $, vamos analisar onde o paraboloide superior está acima do inferior. Observando as equações:
Podemos ver que $ 9x^{2} + y^{2} \geq x^{2} + y^{2} $ para todo $ x $ e $ y $, o que indica que o paraboloide $ z = 9x^{2} + y^{2} $ está sempre acima de $ z = x^{2} + y^{2} $, exceto na linha $ x = 0 $ onde se tocam.
Passo 4
Para calcular o volume entre esses dois paraboloides, iremos criar uma integral dupla que integra a diferença entre as funções $ z $ superiores e inferiores sobre a região de integração $ D $:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Agora, precisamos definir a região $ D $ no plano $ xy $ onde vamos integrar. Como os paraboloides se tocam apenas na linha $ x = 0 $, a região $ D $ é o conjunto de pontos onde $ 8x^{2} $ é positivo, ou seja, para todo $ x $ e $ y $. Porém, para calcular um volume finito, precisamos especificar limites para $ x $ e $ y $. Neste caso, assumimos que o sólido é simétrico em relação ao eixo $ y $ e se estende de $ x = -a $ a $ x = a $, mas sem mais informações específicas, consideramos a região infinitamente grande, o que resulta em um volume infinito.
No entanto, se considerarmos um intervalo específico para $ x $, por exemplo, de $ -1 $ a $ 1 $, podemos prosseguir com a integração. Vamos assumir $ x $ varia de $ -1 $ a $ 1 $ e $ y $ varia de $ -b $ a $ b $, onde $ b $ é um valor constante.
Passo 6
Configurando a integral dupla com os limites assumidos:
Primeiro, integramos em relação a $ y $:
Passo 7
Agora, integramos o resultado em relação a $ x $:
A integral de $ x^{2} $ de $ -1 $ a $ 1 $ é:
Então, substituindo de volta:
Resposta
O volume do sólido limitado pelos paraboloides $ z = 9x^{2} + y^{2} $ e $ z = x^{2} + y^{2} $, assumindo limites específicos para $ x $ e $ y $, é $ V = \frac{32b}{3} $, onde $ b $ é o limite escolhido para $ y $.