Determine o domínio, os intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de máximo e mínimo local, pontos de inflexão, assíntotas e faça o esboço do gráfico das seguintes funções:
f(x)=x(x-4)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função e determinar várias coisas sobre ela, como domínio, onde ela cresce ou decresce, concavidade, máximos e mínimos locais, pontos de inflexão, assíntotas e por fim, fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para entender o comportamento da função.

Passo 2

Domínio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de Domínio: R para os quais a função está definida. Olhando para , percebemos que não há divisões por zero ou radicais que possam causar problemas. Portanto, o domínio é todos os números reais.
Resultado:
í

Passo 3

Intervalos de crescimento e decrescimento
Para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos calcular a primeira derivada f'(x) = ddx[x] cdot (x-4)^3 + x cdot ddx[(x-4)^3] e analisar seu sinal.
Vamos derivar f'(x) = 1 cdot (x-4)^3 + x cdot 3(x-4)^2 :
Usamos a regra do produto:
f'(x) = (x-4)^3 + 3x(x-4)^2
f'(x) = (x-4)^2 [ (x-4) + 3x ]
f'(x) = (x-4)^2 (4x - 4)
Podemos fatorar f'(x) = 4(x-4)^2 (x - 1) :
4(x-4)^2 (x - 1) = 0
Agora, os pontos críticos ocorrem onde :
Isso acontece quando ou .
Agora, vamos analisar o sinal de nos intervalos determinados por esses pontos críticos:
  • Para : Escolha :
    [ f’(0) = 4(-4)^2 (0 - 1) = 4 \cdot 16 \cdot (-1) = -64 ) (negativo → Decrescendo)
  • Para : Escolha :
    [ f’(2) = 4(-2)^2 (2 - 1) = 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 ) (positivo → Crescendo)
  • Para : Escolha :
    [ f’(5) = 4(1)^2 (5 - 1) = 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 ) (positivo → Crescendo)
Resultado:
  • Cresce:
  • Decresce:

Passo 4

Concavidade e pontos de inflexão
Para determinar a concavidade da função e possíveis pontos de inflexão, precisamos calcular a segunda derivada f''(x) = 4 cdot ddx[(x-4)^2] cdot (x - 1) + 4(x-4)^2 cdot ddx[x - 1] .
Vamos derivar f''(x) = 4 cdot 2(x-4) cdot (x - 1) + 4(x-4)^2 cdot 1 :
Aplicamos a regra do produto novamente:
f''(x) = 8(x-4)(x - 1) + 4(x-4)^2
f''(x) = 4(x-4) [2(x - 1) + (x - 4)]
f''(x) = 4(x-4)(2x - 2 + x - 4)
Podemos fatorar f''(x) = 4(x-4)(3x - 6) :
f''(x) = 12(x-4)(x - 2)
12(x-4)(x - 2) = 0
Os pontos de inflexão ocorrem quando :
Isso acontece quando ou .
Vamos analisar a concavidade nos intervalos determinados por esses pontos:
  • Para : Escolha :
    [ f’’(1) = 12(-3)(-1) = 36 ) (positivo → Concavidade para cima)
  • Para : Escolha :
    [ f’’(3) = 12(-1)(1) = -12 ) (negativo → Concavidade para baixo)
  • Para : Escolha :
    [ f’’(5) = 12(1)(3) = 36 ) (positivo → Concavidade para cima)
Resultado:
  • Concavidade para cima: e
  • Concavidade para baixo:
  • Pontos de inflexão: e

Passo 5

Pontos de máximo e mínimo local
Os pontos de máximo e mínimo local estão relacionados aos pontos críticos onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
Já identificamos os pontos críticos em e .
  • Em :
    • A função muda de decrescente para crescente.
    • Isso indica um ponto de mínimo local.
  • Em :
    • A função continua crescendo antes e depois do ponto.
    • Isso não caracteriza um máximo ou mínimo local, mas sim um ponto de inflexão.
Resultado:
  • Mínimo local em
  • Sem máximo local

Passo 6

Assíntotas
Assíntotas são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca. Vamos verificar se existem assíntotas verticais ou horizontais.
  • Assíntotas Verticais:
    • Ocorrem quando a função tende ao infinito em algum ponto do domínio.
    • Nossa função é um polinômio, e polinômios não têm assíntotas verticais.
  • Assíntotas Horizontais ou Oblíquas:
    • Para grandes valores de , observamos o comportamento da função.
    • Como o maior expoente de na função é (pois se expandiria para ), a função tende ao infinito positivo ou negativo conforme vai para .
    • Portanto, não há assíntotas horizontais ou oblíquas.
Resultado:
  • Sem assíntotas

Passo 7

Esboço do gráfico
Com todas as informações coletadas, podemos esboçar o gráfico da função :
  1. Domínio: Todos os .
  2. Interseções:
    • Com o eixo : e .
    • Com o eixo : .
  3. Crescimento e Decrescimento:
    • Decresce em .
    • Cresce em .
  4. Concavidade:
    • Para cima em e .
    • Para baixo em .
  5. Pontos de Máximo e Mínimo:
    • Mínimo local em .
    • Ponto de inflexão em e .
Com isso, o gráfico terá uma curva que desce até , onde atinge um mínimo, depois sobe passando pelos pontos de inflexão em e , e continua subindo para maiores.

Resposta

A função possui domínio em todos os números reais. Ela está decrescendo no intervalo e crescendo em . A concavidade é para cima em e , e para baixo em . Há um ponto de mínimo local em e pontos de inflexão em e . Não existem assíntotas. O esboço do gráfico reflete esses comportamentos, começando a função decrescendo, alcançando um mínimo, passando por pontos de inflexão e continuando a crescer.

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