Determine o domínio, os intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de máximo e mínimo local, pontos de inflexão, assíntotas e faça o esboço do gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função
e determinar várias coisas sobre ela, como domínio, onde ela cresce ou decresce, concavidade, máximos e mínimos locais, pontos de inflexão, assíntotas e por fim, fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para entender o comportamento da função.
Passo 2
Domínio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando para
, percebemos que não há divisões por zero ou radicais que possam causar problemas. Portanto, o domínio é todos os números reais.
Resultado:
Passo 3
Intervalos de crescimento e decrescimento
Para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos calcular a primeira derivada
e analisar seu sinal.
Vamos derivar
:
Usamos a regra do produto:
Podemos fatorar
:
Agora, os pontos críticos ocorrem onde
:
Isso acontece quando
ou
.
Agora, vamos analisar o sinal de
nos intervalos determinados por esses pontos críticos:
-
Para
: Escolha : [ f’(0) = 4(-4)^2 (0 - 1) = 4 \cdot 16 \cdot (-1) = -64 ) (negativo → Decrescendo) -
Para
: Escolha : [ f’(2) = 4(-2)^2 (2 - 1) = 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 ) (positivo → Crescendo) -
Para
: Escolha : [ f’(5) = 4(1)^2 (5 - 1) = 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 ) (positivo → Crescendo)
Resultado:
- Cresce:
- Decresce:
Passo 4
Concavidade e pontos de inflexão
Para determinar a concavidade da função e possíveis pontos de inflexão, precisamos calcular a segunda derivada
.
Vamos derivar
:
Aplicamos a regra do produto novamente:
Aplicamos a regra do produto novamente:
Podemos fatorar
:
Os pontos de inflexão ocorrem quando
:
Isso acontece quando
ou
.
Vamos analisar a concavidade nos intervalos determinados por esses pontos:
-
Para
: Escolha : [ f’’(1) = 12(-3)(-1) = 36 ) (positivo → Concavidade para cima) -
Para
: Escolha : [ f’’(3) = 12(-1)(1) = -12 ) (negativo → Concavidade para baixo) -
Para
: Escolha : [ f’’(5) = 12(1)(3) = 36 ) (positivo → Concavidade para cima)
Resultado:
- Concavidade para cima:
e - Concavidade para baixo:
- Pontos de inflexão:
e
Passo 5
Pontos de máximo e mínimo local
Os pontos de máximo e mínimo local estão relacionados aos pontos críticos onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
Já identificamos os pontos críticos em
e
.
-
Em
: - A função muda de decrescente para crescente.
- Isso indica um ponto de mínimo local.
-
Em
: - A função continua crescendo antes e depois do ponto.
- Isso não caracteriza um máximo ou mínimo local, mas sim um ponto de inflexão.
Resultado:
- Mínimo local em
- Sem máximo local
Passo 6
Assíntotas
Assíntotas são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca. Vamos verificar se existem assíntotas verticais ou horizontais.
-
Assíntotas Verticais:
- Ocorrem quando a função tende ao infinito em algum ponto do domínio.
- Nossa função
é um polinômio, e polinômios não têm assíntotas verticais.
-
Assíntotas Horizontais ou Oblíquas:
- Para grandes valores de
, observamos o comportamento da função. - Como o maior expoente de
na função é (pois se expandiria para ), a função tende ao infinito positivo ou negativo conforme vai para . - Portanto, não há assíntotas horizontais ou oblíquas.
- Para grandes valores de
Resultado:
- Sem assíntotas
Passo 7
Esboço do gráfico
Com todas as informações coletadas, podemos esboçar o gráfico da função
:
-
Domínio: Todos os
. -
Interseções:
- Com o eixo
: e . - Com o eixo
: .
- Com o eixo
-
Crescimento e Decrescimento:
- Decresce em
. - Cresce em
.
- Decresce em
-
Concavidade:
- Para cima em
e . - Para baixo em
.
- Para cima em
-
Pontos de Máximo e Mínimo:
- Mínimo local em
. - Ponto de inflexão em
e .
- Mínimo local em
Com isso, o gráfico terá uma curva que desce até
, onde atinge um mínimo, depois sobe passando pelos pontos de inflexão em
e
, e continua subindo para
maiores.
Resposta
A função
possui domínio em todos os números reais. Ela está decrescendo no intervalo
e crescendo em
. A concavidade é para cima em
e
, e para baixo em
. Há um ponto de mínimo local em
e pontos de inflexão em
e
. Não existem assíntotas. O esboço do gráfico reflete esses comportamentos, começando a função decrescendo, alcançando um mínimo, passando por pontos de inflexão e continuando a crescer.