d yd t=e^t sen(e^t-2), y(ln 2)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condição inicial
d yd t = e^t,sinl(e^t-2r), y(ln 2)=0
O conteúdo é integração de uma função composta que sugere uma substituição.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
dy = e^t,sinl(e^t-2r),dt
Fazemos a substituição
u = e^t - 2 Longrightarrow du = e^t,dt

Passo 3

A integral para y(t) fica
y(t) = integral e^t,sinl(e^t-2r),dt = integral sin(u),du = -cos(u) + C
Voltando à variável t,
y(t) = -cosl(e^t-2r) + C

Passo 4

Usamos a condição inicial y(ln 2)=0. Quando t=ln2 temos e^t=2, logo u=2-2=0. Assim
0 = y(ln2) = -cos(0) + C = -1 + C Longrightarrow C = 1

Resposta

y(t) = 1 - cosl(e^t - 2r)

Exercícios relacionados