Q 8 Seja f uma função definida em R tal que f(x)>0 para todo x neq 2 e f(2)=-1. Julgue, justificando, em verdadeiro ou falso as afirmativas abaixo:
(a) lim x 2 f(x) não existe.
(b) lim x 2 f(x)=-3.
(c) Se existir, lim x 2 f(x) é positivo.

Passo 1

O enunciado diz que f é definida em R, que para todo xneq2 temos f(x)>0, e que f(2)=-1. As afirmativas envolvem existência e valor de limxto2f(x). Vamos usar a definição de limite e exemplos de funções que satisfazem f(x)>0 para xneq2 para testar cada caso.

Passo 2

Analisando (a): “ limxto2f(x) não existe.”
Como não há informação sobre comportamento oscilatório ou desvio próximo de 2, é possível, por exemplo, escolher
f(x)=1(forall xneq2),
com f(2)=-1. Nesse caso limxto2f(x)=1 existe. Logo, não podemos afirmar que o limite sempre não existe. Portanto (a) é falsa.

Passo 3

Analisando (b): “ limxto2f(x)=-3.”
Como para xneq2 temos f(x)>0, qualquer valor de limite (se existir) não pode ser negativo, muito menos -3. Além disso, nada no enunciado sugere esse valor. Portanto (b) é falsa.

Passo 4

Analisando (c): “Se existir, limxto2f(x) é positivo.”
Sabemos que f(x)>0 para xneq2, logo qualquer limite L=limxto2f(x) satisfaz L>=0. Mas o caso L=0 é perfeitamente possível, por exemplo
f(x)=|x-2|(xneq2), f(2)=-1,
em que limxto2f(x)=0, que não é estritamente positivo. Portanto (c) também é falsa.

Resposta

(a) F
(b) F
(c) F

Exercícios relacionados