Determine o intervalo de convergência e o raio de cada série de potência abaixo:
sumn=1^infty 2^n(2 n)! x^3 n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência e o raio de convergência da série de potências
sumn=1^infty 2^n(2n)!,x^3n
O conteúdo aqui é o Critério da Razão (ou de Cauchy) para séries de potências: calculamos
limntoinftyl|an+1x^3(n+1)/(anx^3n)r| e exigimos que seja menor que 1.

Passo 2

Denotando
an = 2^n(2n)!,
consideramos o termo geral anx^3n e aplicamos o Critério da Razão:
l|an+1x^3(n+1)r|l|anx^3nr| = 2^n+1(2n+2)!,l|xr|^3(n+1)2^n(2n)!,l|xr|^3n = 2,(2n)!(2n+2)!,l|xr|^3 = 2,l|xr|^3(2n+2)(2n+1)

Passo 3

Agora vemos que
limntoinfty2,l|xr|^3(2n+2)(2n+1) = 0
para todo xinR. Como esse limite é sempre menor que 1, a série converge para qualquer x.

Resposta

O intervalo de convergência é (-infty,infty) e o raio de convergência é R = infty.

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