d^2 yd x^2+2 d yd x=0, y(0)=1 y^prime(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
d^2ydx^2+2dydx=0
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=2.
O conteúdo aqui é equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método da equação característica para encontrar a solução geral e depois determinar as constantes pelas condições iniciais.

Passo 2

Para a equação homogênea
y''+2y'=0
associamos a equação característica
r^2+2r=0,,
cuja fatoração é
r(r+2)=0,,
portanto as raízes são
r1=0, r2=-2
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
y(x)=C1e^r1x+C2e^r2x=C1+C2e^-2x

Passo 3

Calculamos agora a derivada de y(x):
y'(x)=ddxl(C1+C2e^-2xr) =-2C2e^-2x
Usamos as condições iniciais para achar C1 e C2:
Para x=0,
y(0)=C1+C2=1
Para y' em x=0,
y'(0)=-2C2=2 Longrightarrow C2=-1
Substituindo em C1+C2=1,
C1-1=1 Longrightarrow C1=2

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições dadas é
boxedy(x)=2 - e^-2x

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