Determine quais das seguintes opções não são um conjunto fundamental de soluções para y^prime prime-y=0 ?
A. e^t, e^-t
B. 2 e^t, 2 e^-t
C. t e^t, e^-t
D. (e^t+e^-t), 12(e^t+e^-t)
E. 12(e^t+e^-t), 12(e^t-e^-t)
F. 12(e^t+e^-t), e^t

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais coleções de funções não formam um conjunto fundamental de soluções da equação
y'' - y = 0
O conteúdo aqui é solução de EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Sabemos que a solução geral é
y(t) = C1 e^t + C2 e^-t,
e que um conjunto fundamental é formado por duas soluções linearmente independentes.

Passo 2

Critérios para um conjunto y1,y2 ser fundamental:
  1. y1 e y2 devem satisfazer a EDO y''-y=0.
  2. y1 e y2 devem ser linearmente independentes (ou seja, seu wronskiano não pode ser sempre zero).

Passo 3

Opções A e B:
A) e^t,e^-t é o par canônico de soluções, logo fundamental.
B) 2e^t,2e^-t é apenas a opção A escalada por constantes não nulas; o wronskiano continua não nulo, logo também é fundamental.

Passo 4

Opção C: t e^t,,e^-t.
Verificamos se y=t e^t é solução de y''-y=0:
y = te^t, y' = e^t(1+t), y'' = e^t(2+t),
então
y'' - y = e^t(2+t) - te^t = 2e^t neq 0
Logo t e^t não satisfaz a EDO e não pode estar em conjunto fundamental.

Passo 5

Opção D:
,e^t+e^-t,,tfrac12(e^t+e^-t).
As duas funções são proporcionais:
tfrac12(e^t+e^-t) = tfrac12l(e^t+e^-tr);=;tfrac12cdot 1cdotl(e^t+e^-tr)
Como são dependentes lineares, o wronskiano é zero e não formam conjunto fundamental.

Passo 6

Opções E e F:
E) tfrac12(e^t+e^-t),,tfrac12(e^t-e^-t)=cosh t,sinh t. O wronskiano cosh tcdotcosh t-sinh tcdotsinh t=1neq0. Fundamental.
F) tfrac12(e^t+e^-t),,e^t=cosh t,e^t. O wronskiano é
cosh tcdot e^t - sinh tcdot e^t = e^t(cosh t-sinh t)=1neq0
Também fundamental.

Resposta

C e D

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