Determine quais das seguintes opções não são um conjunto fundamental de soluções para
?
A.
B.
C.
D.
E.
F.
A.
B.
C.
D.
E.
F.
Passo 1
O enunciado pede para identificar quais coleções de funções não formam um conjunto fundamental de soluções da equação
O conteúdo aqui é solução de EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Sabemos que a solução geral é
e que um conjunto fundamental é formado por duas soluções linearmente independentes.
Passo 2
Critérios para um conjunto
ser fundamental:
-
e devem satisfazer a EDO . -
e devem ser linearmente independentes (ou seja, seu wronskiano não pode ser sempre zero).
Passo 3
Opções A e B:
A) é o par canônico de soluções, logo fundamental.
B) é apenas a opção A escalada por constantes não nulas; o wronskiano continua não nulo, logo também é fundamental.
A)
B)
Passo 4
Opção C:
.
Verificamos se é solução de
:
Verificamos se
então
Logo
não satisfaz a EDO e não pode estar em conjunto fundamental.
Passo 5
Opção D:
.
As duas funções são proporcionais:
As duas funções são proporcionais:
Como são dependentes lineares, o wronskiano é zero e não formam conjunto fundamental.
Passo 6
Opções E e F:
E) . O wronskiano
. Fundamental.
F) . O wronskiano é
E)
F)
Também fundamental.
Resposta
C e D