Resolva a equação.
4 ddotx+9 x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
4ddotx+9x=0
O assunto é EDO homogênea de ordem 2; a ideia é escrever a equação característica para encontrar as raízes e, depois, montar a solução geral.

Passo 2

Dividimos tudo por 4 para colocar em forma padrão:
ddotx + 94,x = 0

Passo 3

Escrevemos a equação característica associada, trocando ddot x por r^2:
4r^2 + 9 = 0

Passo 4

Resolvendo 4r^2+9=0 temos
r^2 = -94 Longrightarrow r = pm 32,i
São raízes complexas conjugadas, indicativo de solução oscilatória.

Passo 5

Para raízes r=pm omega i com omega=tfrac32, a forma da solução real geral é combinação linear de cosseno e seno:
x(t)=C1cos!l(tfrac32,tr)+C2sin!l(tfrac32,tr),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

x(t)=C1cos!l(tfrac32,tr)+C2sin!l(tfrac32,tr)

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