Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é assim:
e a condição inicial é
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais, que ajuda a entender como uma quantidade muda em relação a outra. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar os dois lados.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
. Isso significa reorganizar a equação para que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro. Multiplicando ambos os lados por
e por
, temos:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar as funções que, ao derivarmos, nos dão as expressões que temos. Então:
Passo 4
Vamos calcular as integrais. No lado esquerdo:
No lado direito:
Passo 5
Depois de integrar, temos:
Aqui,
é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.
Passo 6
Vamos aplicar a condição inicial
. Substituindo
e
na equação:
Passo 7
Agora, substituímos
na equação geral:
Passo 8
Vamos reorganizar a equação para deixar tudo igual a zero:
Essa é a solução implícita da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: