d yd x=3 x^2+4 x+22(y-1) , y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é assim: dydx = 3x^2 + 4x + 22(y - 1) e a condição inicial é y(0) = 1. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais, que ajuda a entender como uma quantidade muda em relação a outra. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar os dois lados.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis y e x. Isso significa reorganizar a equação para que todos os termos com y fiquem de um lado e os termos com x fiquem do outro. Multiplicando ambos os lados por 2(y - 1) e por dx, temos:
2(y - 1) , dy = (3x^2 + 4x + 2) , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar as funções que, ao derivarmos, nos dão as expressões que temos. Então:
integral 2(y - 1) , dy = integral (3x^2 + 4x + 2) , dx

Passo 4

Vamos calcular as integrais. No lado esquerdo:
integral 2(y - 1) , dy = 2 integral y , dy - 2 integral 1 , dy = 2 cdot y^22 - 2y = y^2 - 2y
No lado direito:
integral (3x^2 + 4x + 2) , dx = 3 cdot x^33 + 4 cdot x^22 + 2x = x^3 + 2x^2 + 2x

Passo 5

Depois de integrar, temos:
y^2 - 2y = x^3 + 2x^2 + 2x + C
Aqui, C é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.

Passo 6

Vamos aplicar a condição inicial y(0) = 1. Substituindo x = 0 e y = 1 na equação:
1^2 - 2(1) = 0^3 + 2(0)^2 + 2(0) + C Rightarrow 1 - 2 = 0 + 0 + 0 + C Rightarrow C = -1

Passo 7

Agora, substituímos C = -1 na equação geral:
y^2 - 2y = x^3 + 2x^2 + 2x - 1

Passo 8

Vamos reorganizar a equação para deixar tudo igual a zero:
y^2 - 2y - x^3 - 2x^2 - 2x + 1 = 0
Essa é a solução implícita da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y^2 - 2y = x^3 + 2x^2 + 2x - 1

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