Nos exercícios de 1 a 10 , calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir os resultados.
integral d t(n-1 / 2) t^n, onde n in Z.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral dt(n-tfrac12),t^n, com ninZ, e depois derivar o resultado para conferir. O conteúdo principal é a regra de potência para integrais: integral t^m,dt = tfract^m+1m+1+C.

Passo 2

Primeiro, fatoramos a constante 1/(n-tfrac12) que não depende de t:
integral dt(n-tfrac12),t^n = 1n-tfrac12 integral t^-n,dt

Passo 3

Agora aplicamos a regra de potência à parte integral t^-n,dt. Como o expoente é -n, temos:
integral t^-n,dt = t^-n+1-n+1 + C1 = t^1-n1-n + C1

Passo 4

Multiplicando pelo fator constante, obtemos:
1n-tfrac12 cdot t^1-n1-n + C = t^1-n(n-tfrac12)(1-n) + C

Passo 5

Para conferir, derivamos F(t)=tfract^1-n(n-tfrac12)(1-n). Usando tfracddtt^1-n = (1-n)t^-n, vem:
F'(t) = 1(n-tfrac12)(1-n) cdot (1-n)t^-n = t^-nn-tfrac12,
que é exatamente o integrando original.

Passo 6

Como a derivada confere, a integral está correta.

Resposta

integral dt(n-tfrac12),t^n = t^1-n(n-tfrac12)(1-n) + C.

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