tau=integrallambdaa^lambdab raizc^2(t(lambda))^2-(x(lambda))^2-(y(lambda))^2-(z(lambda))^2 d lambda
onde c é a velocidade da luz. A chamada quadri-velocidade u(tau) é definida por u(tau)=d r / d tau. Baseando-se na analogia com o comprimento de arco, qual a interpretação geométrica que você daria a u(tau) ?

Passo 1

A questão define o tempo próprio tau como o parâmetro de comprimento de arco no espaço-tempo de Minkowski e introduz a quadri-velocidade u(tau)=dr/dtau. O conteúdo é geometria diferencial em espaço-tempo relativístico e vamos precisar da analogia entre comprimento de arco em curvas euclidianas e parâmetro próprio em curvas lorentzianas.

Passo 2

Em geometria diferencial euclidiana, se tivermos uma curva r(s) parametrizada pelo seu comprimento de arco s, então dr/ds é o vetor tangente unitário à curva. Esse vetor aponta na direção de crescimento da curva e tem módulo igual a 1.

Passo 3

No espaço-tempo de Minkowski adotamos o tempo próprio tau como análogo do comprimento de arco. A quadri-velocidade u(tau)=dr/dtau é, portanto, o vetor tangente à trajetória no espaço-tempo parametrizada por tau. Pelo modo de definição de tau, esse vetor fica normalizado segundo a métrica de Minkowski, ou seja, ucdotu=c^2.

Passo 4

Logo, u(tau) tem interpretação geométrica direta: é o vetor tangente unitário (no sentido da métrica lorentziana) ao mundo objeto, indicando a direção e orientação da linha de universo no espaço-tempo.

Resposta

u(tau) é o vetor tangente unitário (segundo a métrica de Minkowski) à trajetória no espaço-tempo, análogo ao vetor tangente normalizado de uma curva parametrizada por comprimento de arco.

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