onde
é a velocidade da luz. A chamada quadri-velocidade
é definida por
. Baseando-se na analogia com o comprimento de arco, qual a interpretação geométrica que você daria a
?
Passo 1
A questão define o tempo próprio
como o parâmetro de comprimento de arco no espaço-tempo de Minkowski e introduz a quadri-velocidade
. O conteúdo é geometria diferencial em espaço-tempo relativístico e vamos precisar da analogia entre comprimento de arco em curvas euclidianas e parâmetro próprio em curvas lorentzianas.
Passo 2
Em geometria diferencial euclidiana, se tivermos uma curva
parametrizada pelo seu comprimento de arco
, então
é o vetor tangente unitário à curva. Esse vetor aponta na direção de crescimento da curva e tem módulo igual a 1.
Passo 3
No espaço-tempo de Minkowski adotamos o tempo próprio
como análogo do comprimento de arco. A quadri-velocidade
é, portanto, o vetor tangente à trajetória no espaço-tempo parametrizada por
. Pelo modo de definição de
, esse vetor fica normalizado segundo a métrica de Minkowski, ou seja,
.
Passo 4
Logo,
tem interpretação geométrica direta: é o vetor tangente unitário (no sentido da métrica lorentziana) ao mundo objeto, indicando a direção e orientação da linha de universo no espaço-tempo.