Determine a equação característica associada a equação diferencial 2 y^prime prime-3 y^prime+y=0 :
Escolha uma opção:
r^2-2 r-2=0
4 r^2-9=0
r^2-9 r+9=0
2 r^2-3 r+1=0
r^2+5=0
Nenhuma das demais alternativas

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar a equação característica associada à equação diferencial dada:
2 y'' - 3 y' + y = 0
Essa matéria faz parte do estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de equação característica, que nos ajuda a encontrar soluções para a equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação característica. Quando temos uma equação diferencial linear de segunda ordem da forma:
a y'' + b y' + c y = 0
a equação característica associada é obtida substituindo y'' por r^2, y' por r e y por 1. Isso resulta em:
a r^2 + b r + c = 0
Essa é uma equação quadrática em r que precisamos resolver para encontrar os valores de r, que nos ajudarão a escrever a solução geral da equação diferencial.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa equação diferencial específica:
2 y'' - 3 y' + y = 0
Identificamos os coeficientes:
  • a = 2
  • b = -3
  • c = 1
Substituindo na fórmula da equação característica:
2 r^2 - 3 r + 1 = 0

Passo 4

Então, a equação característica associada à nossa equação diferencial é:
2 r^2 - 3 r + 1 = 0

Resposta

A equação característica é 2 r^2 - 3 r + 1 = 0.

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